Контрольная работа по "Алгебре"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Декабря 2013 в 20:05, задача

Описание работы

Работа содержит решение задач по дисциплине "Алгебра"

Скачать архив (217.71 Кб) Сколько стоит заказать работу?

Файлы: 1 файл

кр по алгебре 2.docx

Задание 1: Дана линейная оболочка L₁(а₁,а₂,а₃,а₄) системы четырех векторов а₁=(1,1,1,3), а₂=(1,2,2,5), а₃=(2,1,-1,2), а₄=(2,1,2,5). Выяснить, содержится ли оболочка L₂=<b₁,b₂> в линейной оболочке L₁, где b₁=(1,2,-5,-2), b₂=(1,6,-8,-1).

Решение:

Проверяем, какие векторы 1-ой оболочки входят в базис. Для этого приведем матрицу А к ступенчатому виду и определим ее ранг:

1 1 2 2 (-1), (-3) 1 1 2 2 1 1 2 2

А= 1 2 1 1 0 1 -1 -1 (-1), (-2) 0 1 -1 -1

1 2 -1 2 ~ 0 1 -3 0 ~ 0 0 -2 1 (-1) ~

3 5 2 5 0 2 -4 -1 0 0 -2 1

1 1 2 2

0 1 -1 -1 1 1 2 2

~ 0 0 -2 1 ~ 0 1 -1 -1 Очевидно, что r(A)=3.

0 0 0 0 0 0 -2 1

Один из базисов 1-ой оболочки – а₁,а₂,а₃.

Проверим, принадлежит ли вектор b₁ линейной оболочке L₁:

b₁= α₁а₁+α₂а₂+α₃а₃

перейдем к покоординатной записи данной линейной комбинации

1 1 1 2

2 = α₁ 1 +α₂ 2 +α₃ 1

-5 1 2 -1

-2 3 5 2

1= α₁+ α₂+2α₃,

2= α₁+2α₂+ α₃,

-5= α₁+2α₂- α₃,

-2=3α₁+2α₂+2α₃,

1 1 2 1 (-1), (-3) 1 1 2 1 1 1 2 1

1 2 1 2 0 1 -1 1 (-1), (-2) 0 1 -1 1 1 1 2 1

1 2 -1 -5 ~ 0 1 -3 -6 ~ 0 0 -2 -7 ~ 0 1 -1 1

3 5 2 -2 0 2 -4 -5 0 0 -2 -7 0 0 2 7

α₁+α₂+2α₃=1, α₁=1-α₂-2α₃=-10.5,

α₂- α₃=1, α₂=α₃+1=4.5,

2α₃=7; α₃=3.5

b₁=-10.5a₁+4.5a₂+3.5a₃, т.е. b₁ – есть линейная комбинация базисных векторов оболочки L₁.Значит, b₁ принадлежит L₁.

Проверим, принадлежит ли вектор b₂ линейной оболочке L₁:

b₂=β₁а₁+β₂а₂+β₃а₃

перейдем к покоординатной записи данной линейной комбинации

1 1 1 2

6 = β₁ 1 + β₂ 2 + β₃ 1

-8 1 2 -1

-1 3 5 2

1= β₁+ β₂+2β₃,

6= β₁+2β₂+ β₃,

-8= β₁+2β₂- β₃,

-1=3β₁+2β₂+2β₃

1 1 2 1 (-1), (-3) 1 1 2 1 1 1 2 1

1 2 1 6 0 1 -1 5 (-1), (-2) 0 1 -1 5 1 1 2 1

1 2 -1 -8 ~ 0 1 -3 -9 ~ 0 0 -2 -14 ~ 0 1 -1 5

3 5 2 -1 0 2 -4 -4 0 0 -2 -14 0 0 1 7

β₁+β₂+2β₃=1, β₃=7,

β₂- β₃=5, β₂=5+β₃=12,

β₃=7; β₁=1- β₂-2β₃=-25

b₂=-25а₁+12а₂+7а₃, т.е. b₂ – есть линейная комбинация базисных векторов оболочки L₁.Значит, b₂ принадлежит L₁.

Таким образом, векторы b₁ и b₂ принадлежат L₁. Имеем, линейная оболочка L₂=<b₁,b₂> содержится в линейной оболочке L₁.

Ответ: Оболочка L₂=<b₁,b₂> содержится в линейной оболочке L₁(а₁,а₂,а₃,а₄) системы четырех векторов, где а₁=(1,1,1,3), а₂=(1,2,2,5), а₃=(2,1,-1,2), а₄=(2,1,2,5), b₁=(1,2,-5,-2), b₂=(1,6,-8,-1).

Задание 2: Найти систему линейных уравнений, подпространство решений которой совпадает с линейной оболочкой системы векторов а₁, а₂, а₃, где а₁=(2,0,4,-3), а₂=(0,4,2,-3), а₃=(23,0,-21,-9).

Решение:

Проверяем, какие векторы входят в базис:

2 0 23 1 1 3 (-4), (-2) 1 1 3 1 1 3

А= 0 4 0 0 4 0 0 4 0 ¼ 0 1 0

4 2 -21 ~ 4 2 -21 ~ 0 -2 -33 (-1) ~ 0 -2 -33 ~

-3 -3 -9 (- ⅓) 2 0 23 0 -2 17 0 0 50

1 1 3 1 1 3

0 1 0 2 0 1 0 1 1 3

~ 0 0 1 33 ~ 0 0 1 ~ 0 1 0 Очевидно, что r(A)=3.

0 -2 -33 0 0 0 0 0 1

а₁,а₂,а₃ – базис.

x=α₁а₁+α₂а₂+α₃а₃

Перейдем к покоординатной записи равенства:

x₁ 2 0 23

x₂ = α₁ 0 + α₂ 4 + α₃ 0

x₃ 4 2 -21

x₄ -3 -3 -9

x₁=2α₁+23α₃, α₁=(x₁-23α₃)/2,

x₂=4α₂, α₂=1/4x₂,

x₃=4α₁+2α₂-21α₃, x₃=2(x₁-23α₃)+1/2x₂-21α₃,

x₄=-3α₁-3α₂-9α₃; x₄= -3/2(x₁-23α₃)-3/4x₂-9α₃;

α₁=(x₁-23α₃)/2,

α₂=1/4x₂,

α₃=(2x₁+1/2x₂-x₃)/67,

x₄= -3/2x₁-3/4x₂+51/2α₃;

x₄= -3/2x₁-3/4x₂+51/2α₃= -3/2x₁-3/4x₂+51/134(2x₁+1/2x₂-x₃)

134x₄=-99x₁-75x₂-51x₃

Таким образом, 99x₁+75x₂+51x₃+134x₄=0.

Проверим: 99(2α₁+23α₃)+75(4α₂)+51(4α₁+2α₂-21α₃)+134(-3α₁-3α₂-9α₃)=

=(198+204-402)α₁+(300+102-402)α₂+(2277-1071-1206)α₃=0

Значит, решение найдено верно.

Ответ: 99x₁+75x₂+51x₃+134x₄=0.

Задание 3: Найти ортогональный базис подпространства L, заданного системой уравнений и базисом L┴

x₁+ 4x₂ -26x₃+x₄+x₅=0,

5x₁ -12x₂+22x₃+x₄- x₅=0.

Решение:.

x₁+ 4x₂ -26x₃+x₄+x₅=0, x₁= -4x₂ +26x₃-x₄-x₅,

5x₁ -12x₂+22x₃+x₄- x₅=0; -20x₂+130x₃-5x₄-5x₅-12x₂+22x₃+x₄-x₅=0;

x₁+ 4x₂ -26x₃+x₄+x₅=0, x₁= 1/4 (28x₃-2x₄- x₅),

x₂= 1/16 (76x₃-2x₄-3x₅); x₂= 1/16 (76x₃-2x₄-3x₅)

если x₃=x₄=0, x₅=16, то x₂=-3, x₁=-4. X¹ = (-4,-3,0,0,16)
если x₃=x₅=0, x₄=8, то x₂=-1, x₁=-4. X² = (-4,-1,0,8,0)
если x₄=x₅=0, x₃=4, то x₂=19, x₁=28. X³ = (28,19,4,0,0)

y₁,y₂,y₃ - ортогональный базис.

1. y₁ = X¹ = (-4,-3,0,0,16)

2. y₂ = X² + α y₁

(X²,y₁) 16 + 3

α = - = - = -19/281

(y₁,y₁) 16 + 9 + 256

1124 - 76 131

y₂= X² - 19/281 y₁ = -1/281 281 - 57 = -8/281 28

0 + 0 0

-2248 + 0 -281

0 + 304 38

Проверим: (y₁,y₂) = -8/281 (524 + 84 - 608) = 0.

y₃ = X³ + γ y₂ + β y₁

(y₂, X³) -8/281 (3668 + 532)

γ = - = - = 3/2

(y₂,y₂) 64/(281)² (131² + 28² + 281² + 38²)

(y₁, X³) -4·28 - 3·19

β = - = - = 169/281

(y₁,y₁) 16 + 9 + 256

131 -4

y₃ = X³ + 3/2 y₂ + 169/281 y₁ = X³ - 12/281 28 +169/281 -3 =

0 0

-281 0

38 16

-1572 - 676 28 -8 5

= X³ + 1/281 -336 - 507 = 19 + -3 = 4 4

0 4 0 1

3372 0 12 3

-456 + 2704 0 8 2

Проверим: (y₁,y₃) = 4 (-20 – 12 + 32) = 0,

(y₂,y₃) = 4· (-8)·281 (655 + 112 – 843 + 76) = 0.

y₁ 1

|y₁|=√(16+9+256)=√281; q₁= = · (-4,-3,0,0,16)

| y₁ | √281

8 40√14

|y₂|= ·√(17161+784+78961+1444)= ;

281 √281

y₂ -1

q₂= = · (131,28,0,-281,38)

| y₂ | 5·√14√281

y₃ 1

|y₃|=4√(25+16+1+9+4)=4√55; q₃ = = ·(5,4,1,3,2)

| y₃ | √55

p = (p₁,p₂,p₃,p₄,p₅)

(q₁,p)=0, (-4p₁ - 3p₂ + 16p₅),

(q₂,p)=0, (131p₁ + 28p₂ – 281p₄ + 38p₅)=0,

(q₃,p)=0; (5p₁ + 4p₂ + p₃ + 3p₄ + 2p₅)=0

-4 -3 0 0 16 131, 5 -4 -3 0 0 16

131 28 0 -281 38 ·1/281 ~ 0 -1 0 –4 8 (-3), 1 ~

5 4 1 3 2 0 1 4 12 88

1 0 0 -3 2 p₁= 3p₄ - 2p₅,

~ 0 1 0 4 -8 p₂= -4p₄ + 8p₅,

0 0 1 2 24 p₃= -2p₄ - 24p₅

если p₄=0, p₅=1, то p₁= -2, p₂=8, p₃=-24

P¹ = (-2,8,-24,0,1)

если p₄=1, p₅=0, то p₁=3, p₂= -4, p₃= -2

P² = (3,-4,-2,1,0)

Ответ: P¹ = (-2,8,-24,0,1), P² = (3,-4,-2,1,0).

Задание 4: Для оператора с матрицей А, действующего в действительном пространстве, найти собственные значения и собственные векторы.

0 1 -1 1

А= 1 0 1 -1

-1 1 0 1

1 -1 1 0 .

Решение:

1.Составим характеристическое уравнение:

-λ 1 -1 1

1 -λ 1 -1 =0

-1 1 -λ 1

1 -1 1 -λ

Информация о работе Контрольная работа по "Алгебре"