Контрольная работа по «Алгебре и геометрии»

 

Даны три точки в  пространстве:

 

Найти площадь 

 

Найдем вектора , являющиеся

сторонами треугольника ABC.

 

Вектор – направленный отрезок в пространстве.

Чтобы найти координаты вектора  необходимо из координат конца вектора  вычесть координаты его начала.

 

 

 

 

 

Площадь треугольника   равно ½ площади параллелограмма. Площадь параллелограмма равняется произведению длин двух сторон у синуса угла между ними: S.

Векторным произведением , является вектор , такой что выполняются три условия:

1. Длина вектора ;
2. – ортогонален векторам ;
3. образует с векторами правую тройку.

 

Вектора образуют правую тройку если переход от вектора к вектору происходит против часовой стрелки ():

 

 

 

 

Следовательно площадь треугольника равна ½ длины вектора .

Чтобы найти векторное произведение , составим и найдем определитель вида:

 

 

 

 

 

Тогда, , коэффициенты при векторах будут координатами вектора =

 

Найдем длину вектора . Длина вектора это число полученное из квадратного корня суммы квадратов координат вектора:

 

 

 

Тогда

 

Ответ:

 

2. С помощью скалярного произведения доказать, что вектор полученный от векторного произведения, перпендикулярен векторам и .

Из предыдущей задачи следует, что вектора  не нулевые. По определению скалярного произведения и из теоремы следует:

, где sin а – синус угла между векторами

Значит sina равен нулю, тогда угол альфа равен 90 градусов, ч. и т.д. вектора ортогональны. Аналогичное доказательство для векторов .

 

 

3. Определить компланарность векторов , какую тройку векторов образуют (правая, левая).

 

Даны три вектора 

 

 

 

 

Из следствия теоремы  смешанного произведения векторов – три вектора копланарны, если определитель составленный из их координат равняется нулю.

 

Векторы компланарны и  они составляют правую тройку, т.к. левая  тройка получается при отрицательных  значениях (переход векторов по часовой  стрелке).

 

1. Задана прямая L и точка М .Требуется : вычислить расстояние q(M,L) от точки до прямой;

 

 

 

 

Расстояние от точки  до прямой , есть перпендикуляр опущенный из данной точки на прямую.

Перейдем от уравнения  прямой в общем виде:

 

К нормированному уравнению этой же прямой. Для этого нужно найти нормирующий множитель по формуле:

 

,где A и B,коэффициент при x и y,а знак выбирается противоположный знаку переменной 'C' в уравнении прямой в общем виде.

Умножаем уравнение прямой в общем виде на нормирующий множитель в нашем уравнении переменная ‘C’ со знаком минус, значит t будет с плюсом).

 

 

 

Для нахождения расстояния между прямой и точкой , подставим в нормированное уравнение прямой вместо x и y, координаты точки .

 

Мы взяли модуль расстояния, т.к. оно не может быть отрицательным.

Ответ:.

2. Найти уравнение прямой L’, проходящей через точку М, и перпендикулярно заданной прямой L.

 

Рассмотрим другой вид  записи уравнения прямой:

 

, где - координаты точки, через которую проходит прямая, а и координаты направляющего вектора ,который задает направление прямой на координатной плоскости и является параллельным к заданной прямой.

 

 

 

 

 

 

 

 

Из рассмотренного в предыдущей задаче уравнения прямой в общем  виде, можно выделить вектор . Он называется нормаль, перпендикулярен заданной прямой, а так же задает ее положение на координатной плоскости.

 

Возьмем нормаль к прямой :

 

Он перпендикулярен исходной прямой , но так же он будет параллелен искомой прямой , т.е. будет равен направляющему вектору .

Запишем уравнение прямой в каноническом виде подставляя  

 

 

Перейдем к общему виду, используя свойства пропорции:

 

 

 

Мы получили уравнение  прямой , перпендикулярной исходной прямой и проходящей через точку .

 

Ответ:  

 

3. Найти уравнение прямой L’’, проходящей через точку М, и параллельно заданной прямой L.

 

В этой задаче нам снова  потребуется нормаль  

, а точку .

 

 

 

 

Если подставить координаты и точки в уравнение:

 

,то получим уравнение прямой проходящей через точку и параллельно заданной прямой .

 

 

 

У обеих прямых один нормаль  вектор, но прямая проходит через точку , т.к. они обе перпендикулярны одному и тому же вектору, следует, что они параллельны.

 

Ответ:

 

4. Найти косинус угла (L1,L2) и точкой пересечения прямых.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем направляющие вектора  для заданных прямых:

 

Т.к. направляющие вектора  параллельны соответствующим прямым, то косинус угла между двумя прямыми  будет равен косинусу угла между  двумя параллельными им векторами:

 

Вычислим:

 

 

Найдем точку пересечения:

Приведем уравнение прямых к общему виду:

 

 

 

Теперь запишем их как  систему уравнений и решим, полученные x и y будут координатами точки пересечения прямых:

 

 

 

Получаем , точка пересечения .

Ответ: точка пересечения .

 

 

1. Найти уравнение плоскости проходящей через точки  и параллельной вектору .

 

 

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;

Уравнение плоскости в  общем виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим вектор и найдем его координаты вычитая из конца координаты начала: .

Найдем и построим вектор , который равен векторному произведению и будет нормалью для искомой плоскости, а так же плоскость будет параллельна вектору :

 

 

Подставим координаты вектора  в уравнение плоскости, проходящей через одну из заданных в условии точек:

 

,где координаты точки.

 

 

Ответ:

2. Найти косинус угла между плоскостями

 

Плоскость задается нормалью: .

 

 

 

 

 

 

 

Определим нормали для  плоскостей:

 

Угол между нормалями  и есть искомый угол между плоскостями:

 

 

Ответ: .