Классификация кривых и поверхностей второго порядка

Московский  государственный институт

экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат на тему:

«Классификация кривых и поверхностей второго порядка»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: Зайкова  В.С.

группа ДЭЭ-106

Проверил: Малахов  А.Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2011

Классификация поверхностей второго порядка

Начнем с  классификации поверхностей второго  порядка. Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства,

координаты  которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени , где коэффициенты − действительные числа, причем не равны нулю одновременно.

В теории поверхностей второго порядка классифицируют и изучают различные виды поверхностей. Методом их изучения является так называемый метод сечения: исследуются сечения поверхности плоскостями, параллельными координатным или самими координатными плоскостями, и по виду сечений делается вывод о форме поверхности.

Существует  семнадцать видов поверхностей второго порядка. Идея классификации поверхностей основана на приведении их уравнений к каноническому виду в результате преобразования системы координат в каноническую.

Рассмотрим  подробнее одну из поверхностей – параболоид.

Параболо́ид ―  тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован  как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Канонические  уравнения параболоида в декартовых координатах:

• если a и b одного знака, то параболоид называется эллиптическим.
• если a и b разного знака, то параболоид называется гиперболическим.
• если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.

Эллипти́ческий параболо́ид  — поверхность, описываемая функцией вида , где a и b одного знака. Поверхность описывается семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также

направленными вверх.

Если a = b то эллиптический  параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.

  

 Гиперболи́ческий параболо́ид (называемый в строительстве «гипар») — седлообразная  поверхность, описываемая в прямоугольной  системе координат уравнением вида Из второго представления видно, что гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью. Поверхность может быть образована движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх, при условии, что первая парабола соприкасается со второй своей вершиной.

 

 Параболический цилиндр  — цилиндрическая поверхность второго  порядка, для которой образующей служит парабола. Ее получают при перемещении  параболы по направляющей прямой. Тогда  следом от параболы будет параболический цилиндр.

Каноническое уравнение:

z = a , при a=0 вырождается в плоскость.

 Свойство параболического цилиндра. Параболический цилиндр фокусирует параллельный пучок лучей в линию, образованную из фокусов парабол, являющихся сечениями цилиндра плоскостями, перпендикулярными направляющей. Благодаря этому свойству рефлекторы инфракрасных обогревателей и прожекторов с линейными источниками света (линейные галогенные или трубчатые ксеноновые лампы) часто изготавливаются в форме параболического цилиндра.

 

 Параболоиды в мире: в  технике. Часто используется свойство параболоида вращения собирать пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку — фокус, или, наоборот, формировать параллельный пучок излучения от находящегося в фокусе источника. На этом принципе основаны параболические антенны, телескопы-рефлекторы, прожекторы, автомобильные фары и т.д.

В литературе устройство, описанное в романе А. Н. Толстого «Гиперболоид инженера Гарина», должно было быть параболоидом.

 

Классификация кривых второго порядка

Кривая второго  порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов  отличен от нуля. Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс(а), окружность, парабола(б), гипербола(в) и несколько вырожденных фигур. Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII веке, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения.

В качестве примера  рассмотрим одну из кривых второго  порядка – гиперболу. Гипе́рбола (др.-греч. ὑπερβολή, от др.-греч. βαλειν — «бросать», ὑπερ — «сверх») — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянно. Точнее, причем | F1F2 | > 2a > 0. Термин «гипербола»

(греч. ὑπερβολή — избыток) был введён Аполлонием

Пергским (ок. 262 год до н. э. — ок. 190 год до н. э.), поскольку задача о построении точки гиперболы сводится к задаче о приложении с избытком.

Гипербола может быть определена несколькими путями:

1. Коническое сечение. Гипербола может быть определена, как множество точек, образуемое в результате сечения кругового конуса плоскостью, отсекающей обе части конуса. Другими результатами сечения конуса плоскостью являются парабола, эллипс, а также такие вырожденные случаи, как скрещенные и совпадающие прямые и точка, возникающие, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. В частности, скрещенные прямые можно считать вырожденной гиперболой, совпадающей со своими асимптотами.
2. Как геометрическое место точек. Через фокусы: гипербола может быть определена, как геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна. Через директрису и фокус геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная ε > 1 называется эксцентриситетом гиперболы.

Связанные определения:

• Гипербола состоит из двух отдельных кривых, которые называют ветвями.
• Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы называются вершинами.
• Кратчайшее расстояние между двумя ветвями гиперболы называется большой осью гиперболы.
• Середина большой оси называется центром гиперболы.
• Расстояние от центра гиперболы до одной из вершин называется большой полуосью гиперболы.
• Обычно обозначается a.
• Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.
• Обычно обозначается c.
• Оба фокуса гиперболы лежат на продолжении большой оси на одинаковом расстоянии от центра гиперболы. Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется действительной или поперечной осью гиперболы.
• Прямая, перпендикулярная действительной оси и проходящая через её центр называется мнимой или сопряженной осью гиперболы.
• Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, перпендикулярный её действительной оси, называется фокальным параметром.
• Расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы называется прицельным параметром.
• Обычно обозначается b.
• В задачах, связанных с движением тел по гиперболическим траекториям расстояние от фокуса до ближайшей вершины гиперболы называется перицентрическим расстоянием
• Обычно обозначается rp.

Для характеристик гиперболы  определённых на предыдущих слайдах подчиняются следующим соотношениям:

 Типы гипербол:

Гиперболу, у которой a = b, называют равнобочной. Равнобочная  гипербола в некоторой прямоугольной  системе координат описывается  уравнением xy = а^2/ 2, при этом фокусы гиперболы располагаются в точках (a, a) и (−a,−a). Гиперболы, связанные с треугольником гипербола Енжабека — кривая, изогонально сопряженная прямой Эйлера; гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряженная прямой проходящей через точка Лемуана и центр описанной окружности данного треугольника.

Уравнения.

Декартовы координаты. Гипербола задаётся уравнением второй степени в декартовых координатах (x, y) на плоскости: где коэффициенты Axx, Axy, Ayy, Bx, By, и C удовлетворяют следующему соотношению:

Канонический  вид. Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду: где большая a и малая b полуоси.

Полярные координаты. Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то .

Если полюс находится  в фокусе гиперболы, а полярная ось  параллельна одной из асимптот, то .

Свойства:

• Оптическое свойство. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе. Иначе говоря, если F1 и F2 фокусы гиперболы, то касательная в любой точки X гиперболы является биссектрисой угла
• Для любой точки лежащей на гиперболе отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная
• Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы
• Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу, для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Это соответствует замене a и b друг на друга в формуле, описывающей гиперболу. Сопряженная гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; обе гиперболы различаются формой.

 

Асимптоты. Гипербола, в её каноническом виде, задается парой функций: .

Имеет две асимптоты .

 

 

 

 

 

 

 

Диаметры и хорды. Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряженный диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.

Угловой коэффициент k параллельных хорд и угловой коэффициент 𝑘_1 соответствующего диаметра связан соотношением

Если диаметр a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряженными. Главными диаметрами называются взаимно сопряженные и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.

Касательная и нормаль. Поскольку гипербола является гладкой кривой, в каждой её точке (x0, y0) можно провести касательную и нормаль. Уравнение касательной к гиперболе, заданной каноническим уравнением, имеет вид: или, что то же самое, .

Уравнение нормали  к гиперболе имеет вид: .

Кривизна и эволюта. Кривизна гиперболы в каждой её точке (x, y) определяется из выражения: . Соответственно, радиус кривизны имеет вид: . В частности, в точке (a, 0) радиус кривизны равен . Координаты центров кривизны задаются парой уравнений: . Подставив в последнюю систему уравнений вместо x и y их значения из параметрического представления гиперболы, получим пару уравнений, задающих новую кривую, состоящую из центров кривизны гиперболы. Эта кривая называется эволютой гиперболы .

 Синим цветом показана гипербола. Зеленым цветом — эволюта правой ветви этой гиперболы (эволюта левой  ветви вне рисунка. Красным цветом показан круг, соответствующий кривизне гиперболы в ей вершине.)

Применения. Семейство конфокальных (софокусных) гипербол вместе с семейством софокусных эллипсов образуют двумерную эллиптическую систему координат. Другие ортогональные двумерные координатные системы, построенные с помощью гипербол, могут быть получены с помощью других конформных преобразований. Например, преобразование w = z² отображает декартовы координаты в два семейства ортогональных гипербол.

 

Список  литературы и интернет-ресурсов

• Бронштейн И. Гипербола // Квант. — 1975. — № 3.
• Математическая энциклопедия (в 5-и томах). М.: Советская энциклопедия, 1982.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые // Популярные лекции по математике. — Гостехиздат, 1952. — В. 4.
• http://ru.wikipedia.org