Этапы развития понятия натурального числа и нуля

                                            

              Министерство  общего и профессионального  образования  "Свердловской области ГБОУ СПО СО"   Ирбитский  гуманитарный колледж

 

Специальность 050144" Дошкольное  образование"

 

 

 

 

 

Контрольная работа по дисциплине «Математики»

 

Этапы развития понятия натурального числа и нуля.

 

                                                                                          Выполнил: Логинова                                                                                                                                                

                                                                                           Наталья Аннасовна

                                                                                           Группа   21-В

                                                                                          Форма обучения: заочная

                                                                                          Преподаватель: Забелина

                                                                Нина Ивановна

                                                                                        

                                                    Ирбит 2012г.                                            

                                  Содержание.

 

    Введение.............................................................................................4

1. Число как основное  понятие математики.......................................5

2. Натуральные числа и  их функции...................................................6 
3. Рациональные числа.........................................................................10

3.1. Дробные числа...............................................................................11 
3.1.1. О происхождении дробей..........................................................11 
   Заключение.........................................................................................13

  Список использованной литературы................................................14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

                                              

                                    

                                                    Введение.

 
       Числа — это неотъемлемое орудие современной цивилизации, используемое для упорядочения сферы ее деятельности.  
  Память человечества не сохранила, не донесла до нас имя изобретателя колеса или гончарного круга. Это и неудивительно: более 10 тыс. лет прошло с тех пор, как люди всерьёз занялись земледелием, скотоводством и производством простейших товаров. Назвать же имя гения, впервые задавшегося вопросом "сколько?", тем более, невозможно. 
   В каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились на животных, потребность в счёте возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов на стоянках первобытных людей. Например, в 1937 г. в Вестонице (Моравия) на месте одной из таких стоянок найдена волчья кость с 55 глубокими зарубками. Позже в других местах учёные находили столь же древние каменные предметы с точками и чёрточками,  сгруппированными по три или по пять¹.  
     У многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ - вертикальная чёрточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости. 
   Поштучно считать предметы удобно тогда, когда их не очень много. Пересчитывать же таким образом большие совокупности скучно и утомительно, поэтому возникла идея объединять единицы в группы. Появился счёт пятёрками, десятками, пальцев рук и ног "счетовода". 
   Сегодня экономисты-математики пользуются матричной алгеброй для описания взаимосвязей сотен предприятий, а физики — преобразованиями в гильбертовом пространстве (т. е. числовой концепцией на семь уровней абстракции выше, чем натуральные числа) для предсказания квантовых явлений. 
Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел, которые позволят с большей простотой и стандартностью промоделировать все доступное предыдущим числам и откроют новые перспективы в моделировании еще более сложных задач. 
  В связи с этим тема данной контрольной работы «Этапы развитие понятия натурального числа и нуля» до сих пор не утратила своей актуальности. Ведь в процессе исследования ученые опираются на достижения предыдущих поколений, и информация о становлении такого понятия как «число», об этапах его развития,  несомненно будет полезна при решении новых задач, или усовершенствовании уже известных решений. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   1. Число как основное понятие математики.  
                                           

                                                Знания людей заслуживает имени Науки

                                                          в зависимости от того, какую роль играет       в нем число.  
                                                                                                     Э. Борель.

 

  Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Существует большое количество определений понятия «число».  

   Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.). ² 
  Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Со слов греческого философа  Ямвлиха , еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору. В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое  число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».  
                             2. Натуральные числа и их функции. 
   Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Источником возникновения числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»).  
  С развитием письменности возможности воспроизведения числа значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.).  Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков – цифр.  
  Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.  
  Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 - 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. 
  Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).  
   Натуральные числа³ — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления) предметов. Существуют два подхода к определению натуральных чисел, отличающиеся причислением нуля к натуральным числам. Соответственно, натуральные числа определяются как:  
-числа, используемые при перечислении (нумеровании) предметов: 1, 2, 3,… (первый, второй, третий и т. д.). Это определение общепринято в большинстве стран, в том числе и в России;  
-числа, используемые при обозначении количества предметов: 0, 1, 2, … (нет предметов, один предмет, два предмета и т. д.). Это определение было популяризовано в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.  
Отрицательные и нецелые числа натуральными не являются. Множество натуральных чисел принято обозначать .  
Существует бесконечно много натуральных чисел. Для любого натурального числа найдется натуральное число, большее его. 
Натуральные числа имеют две основные функции: характеристика количества предметов и характеристика порядка предметов, размещенных в ряд. В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).  
      Натуральными числами называются числа, которые появились в результате счета. Числа один, два, три, четыре и так дальше, являются натуральными. Отрицательные и дробные числа не принадлежат к натуральным числам. Ноль, чаще всего, не принято считать натуральным числом.

    Натуральные числа - это числа, которые используются для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.

   Натуральные числа образуют натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... Наименьшим числом в натуральном ряду является число 1 (один, единица), наибольшего числа в натуральном ряду нет. Натуральный ряд чисел является бесконечным. Натуральный ряд построен так, что каждое следующее число на 1 (единицу) больше предыдущего.

Любое натуральное число можно записать при помощи десяти арабских цифр: 1 (один), 2 (два), 3 (три), 4 (четыре), 5 (пять), 6 (шесть), 7 (семь), 8 (восемь), 9 (девять), 0 (ноль). Одно число может обозначаться несколькими  цифрами. Например, число 18 (восемнадцать) обозначается двумя цифрами: 1 (один) и 8 (восемь). В записи натурального числа  значение каждой цифры определяется местом (позицией), которое цифра  занимает в записи числа.

Натуральными называют числа, используемые при счете (нумерации, перечислении) предметов. То есть, это целые положительные числа. Отрицательные и нецелые числа — к натуральным не относятся.

   Натуральный ряд чисел конструируется на основе начального натурального числа, называемого единицей (обозначение "1") и операции перехода к следующему. Эта операция применима к любому натуральному числу, а ее результат считается натуральным числом, следующим за исходным.

Между математиками есть расхождение  по вопросу о том, какое число  считать наименьшим в натуральном  ряду. Во французской традиции, восходящей к работам Н.Бурбаки, в отличие от других математических школ натуральными принято считать числа, выражающие количество предметов в группе. Поэтому в этой традиции наименьшим натуральным числом считается ноль ("0"), а не единица, и, соотвественно, французские математики, в отличие от других, признают ноль натуральным числом. Такой подход мотивирован также теоретико-множественной моделью натурального ряда, в которой ноль отождествляется с пустым множеством (Ø), а операция перехода к следующему — с образованием множества, состоящего из всех предшествующих натуральных чисел (представленных множествами):

0 ≡ Ø

1 ≡ {Ø}

2 ≡ {Ø, {Ø}}

3 ≡ {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}

4 ≡ {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}}

и т.д. 

Следует отметить, что при  таком построении каждое натуральное  число совпадает с мощностью  соответствующего ему множества. 

Порядок. На множестве натуральных чисел определено отношение порядка «меньше», обозначаемое символом «<». Натуральные числа M и N связаны отношением «меньше» (M<N) если (возможно многократно) применяя к числу M операцию перехода к следующему, можно получить число N. 

Сложение. На основе операции перехода к следующему определяется операция сложения, обозначаемая символом «+». Суммой M+N двух натуральных чисел M и N называется число K, получаемое из числа M в результате N-кратного применения операции перехода к следующему. Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. 

Вычитание. На основе операции сложения определяется операция вычитания, обозначаемая символом «–». Разностью M–N называется такое число K, которое при прибавлении к N дает M. Разность существует не для любых натуральных чисел M и N, а только для таких, которые связаны отношением «меньше»: N<M.

Умножение. На основе операции сложения на множестве натуральных чисел вводится операция умножения, обозначаемая символом «·». Произведением M·N двух натуральных чисел M и N называется число K, получаемое из числа M в результате (N–1)-кратного прибавления к нему числа M. Произведение любых двух натуральных чисел является натуральным числом. 

Деление. На основе операции умножения определяется операция деления, обозначаемая символом «/». Частным M/N двух натуральных чисел M и N называется такое число K, которое при умножении на N дает M. Далеко не для любой пары натуральных чисел существует натуральное частное. В тех случаях, когда оно существует, говорят, что два натуральных числа делятся друг на друга.⁴

                                         3. Рациональные числа. 
   Числа целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырем арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом. 
   Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности.  
Таким образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального числа, принципиальных затруднений. 
  Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятий числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит в присоединении к рациональным числам т.н. иррациональных чисел.  
                             

                                  3.1. Дробные числа. 
                                  3.1.1. О происхождении дробей. 
Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась  у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.  
 Так возникли дроби. 
В истории развития дробного числа  мы встречаем дроби трёх видов: 
1) доли или единичные дроби, у которых числитель единица, знаменателем же может быть любое целое число; 
2) дроби систематические, у которых числителями могут быть любые числа, знаменателями же – только числа некоторого частного вида, например степени десяти или шестидесяти; 
3) дроби общего вида, у которых числители и знаменатели могут быть любыми числами. 
Изобретение этих трёх различных видов дробей представляло для человечества разные степени трудности, поэтому разные виды дробей появлялись в разные эпохи.   
  Знакомство человека с дробными числами началось с единичных дробей с малыми знаменателями. 
Понятия «половина», «треть», «четверть», «осьмушка» употребляются часто людьми, которые арифметике дробных чисел никогда не обучались. Эти простейшие дроби изобрёл каждый народ самостоятельно в ходе своего развития. 
Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.  
Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида –    – так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot – «несколько»).  
Единичные дроби встречаются в древнейших дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, –