Экономико-математическое моделирование международной торговли

Произведение матрицы A на вектор является вектором y, т.е. y = Ax. Если y = Ax и x = Bw, то y = Abw, что справедливо для любых векторов x, y, w и любых матриц A, B.

Транспонирование матриц

Транспонированная матрица  есть матрица АТ, столбцы которой являются строками исходной матрицы при сохранении их порядка. Транспонирование является рефлексивным. Транспонирование вектор-столбца дает вектор-строку и наоборот. Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц. Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке, т.е. (AB)^T = B^TA^T. Матрица называется симметрической, если транспонированная

матрица равна самой  матрице.

Обратная матрица

Матрица, которая в  результате умножения на матрицу A равна

единичной матрице, называется обратной к A и обозначается символом A^–1.

Для получения обратной матрицы необходимо:

1) найти определитель  исходной матрицы det A;

2) найти матрицу М из алгебраических дополнений к каждому элементу матрицы А^Т;

3) найти отношение  А^–1 = М / det A.

Собственные значения и  собственные векторы матрицы Ненулевой вектор x = (x₁, x₂, ..., x_n)^T называется собственным вектором квадратной матрицы A порядка n х n, если Ax = λx, где λ – некоторое число, называемое собственным значением матрицы. При этом говорят, что x есть собственный вектор матрицы A , принадлежащий ее собственному значению λ.

Пусть I – единичная матрица порядка n х n. Уравнение , называется характеристическим уравнением матрицы A. Собственные значения матрицы A являются корнями ее характеристического уравнения.

Если в матрице A сумма элементов каждого столбца равна 1, то имеется собственный вектор, принадлежащий собственному значению 1.

В соответствии с теоремой Фробениуса–Перрона максимальное по модулю собственное значение λ_A неотрицательной квадратной матрицы A ≥ 0 неотрицательно, а среди собственных векторов, принадлежащих λ_A, имеется неотрицательный вектор.

В случае A > 0 все неотрицательные собственные векторы матрицы A положительны и принадлежат только ее максимальному по модулю собственному значению λA. Кроме того, в этом случае любые два положительных собственных вектора y и x отличаются лишь числовым множителем, т.е. y = αx. Максимальное по модулю собственное значение λ_A неотрицательной матрицы A называется числом Фробениуса матрицы A, а соответствующий ему неотрицательный собственный вектор – вектором Фробениуса для матрицы A.

 

1.3. Линейная модель международной торговли

 

Исходные предположения  модели

Изучаемая модель основана на следующих предположениях:

1. Рассматривается n стран S₁,S₂,...,S_n , национальный доход которых, выраженный в одной и той же валюте, равен x₁, x₂,..., x_n денежных единиц, соответственно.

2. Считается, что весь национальный доход каждой из стран расходуется на закупки товаров, как внутри страны, так и у других стран.

3. Известна структурная матрица международной торговли

A = (a_ij) , каждый элемент a_ij которой равен доле национального дохода, которую страна S j расходует на закупку товаров у страны S_i:

     (1)

4. Считается, что для каждой страны выполнено условие бездефицитной торговли, заключающееся в том, что выручка от внешней и внутренней торговли оказывается не меньшей, чем национальный доход страны.

5. Известен суммарный национальный доход D всех n стран.

Требуется найти вектор национальных доходов всех стран:

 

Расчетные уравнения

Если обозначить символом t_i выручку, полученную страной S_i от внутренней и внешней торговли, то будет справедливо соотношение:

     (2)

Из предположения 4 вытекает, что для всех значений i =1, 2,..., n выполняется неравенство t_i ≥ x_i , а из предположений 2 и 3 вытекает, что сумма элементов в каждом столбце матрицы A равняется 1.

Отсюда, используя соотношение (2), получаем:

Следовательно, для всех значений i =1, 2,.., n выполнено равенство t_i=x_i, т.е.

    (3)

Таким образом, справедливо матричное уравнение:

    (4)

которое означает, что  вектор

является собственным  вектором матрицы A с собственным значением 1.

Из уравнения (4) вытекает, что вектор X удовлетворяет уравнению:

      (5)

где символом E обозначена единичная матрица n - го порядка. Это уравнение дает возможность определить национальный доход каждой из стран, позволяющий осуществлять бездефицитную торговлю. В координатах уравнение (5) имеет вид:

   (6)

 

1.4. Моделирование с использованием  технологии Excel

 

Определение собственного вектора X матрицы А с помощью  средств Microsoft Excel невозможно.

Поэтому математическую модель международной торговли сводят к задаче линейного программирования.

Для этого, систему уравнений: (A – E)X = 0,

где Е – единичная  матрица

которая получается из уравнений (AX = X) переносом правой части в  левую, трактуют как ограничения-равенства.

Кроме того, вводят новое  ограничение-неравенство:

отражающее условие, по которому сумма бюджетов всех стран должна быть не больше заданной величины S.

В качестве целевой функции  вводится сумма бюджетов всех стран, которая должна достигать максимума:

Итак, математическая модель сбалансированной международной торговли сводится к следующей оптимизационной задаче линейного программирования. Необходимо найти максимум целевой функции

при ограничениях:

Пример с  использованием технологии Excel

Найти национальные доходы х₁, х₂, х₃, х₄ четырех торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица торговли этих четырех стран равна

,

а сумма бюджетов стран  не превышает 7680 млн. ден. ед.

Математическая модель

при ограничениях:

Решение задачи средствами Excel

Задание исходных данных на рабочем листе Excel приведено на рис. 1.

Рис. 1. Исходные данные в  Ехсel

 

В ячейки В2:Е6 занесены коэффициенты при системе ограничений, в ячейках G2:G6 содержатся ограничения в правых частях, в ячейки I2:I6 занесены формулы  левых частей ограничений, ячейки В9:Е9 содержат изменяемые переменные х₁, х₂, х₃, х₄.

Например, в ячейке I2 записана формула ограничений =СУММПРОИЗВ(В2:Е2;В9:Е9). Аналогичные формулы записаны в  ячейках I3:I6. Формула целевой функции =СУММ (В9:Е9) занесена в ячейку С10.

Рис. 2. Решение задачи средствами Excel

Процесс решения –  занесение в окно Поиск решения  ячейки с формулой целевой функции, занесение изменяемых ячеек, внесение ограничений приведено на рис. 2. В окне Параметры необходимо отметить: Линейная модель, Неотрицательные значения, Автоматическое масштабирование.

На рис. 2 приведены  также результаты решения, согласно которым национальные доходы четырех  стран х₁, х₂, х₃, х₄ равны соответственно 1015,359; 1458,228; 3251,308; 1955,105 млн. ден. ед.

Из содержимого ячеек I2:I6 видно, что все ограничения выполнены. Значение целевой функции (ячейка С10) равно 7680 млн. ден. ед.

 

Глава 2. Задача на определение  национальных доходов четырех торгующих  стран в сбалансированной системе  международной торговли

 

Найти национальные доходы х₁, х₂, х₃, х₄ четырех торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица торговли этих четырех стран равна:

а сумма бюджетов стран  не превышает 9000 млн. ден. ед.

Решение

 

Найдем матрицу (А -Е):

 

 

В качестве целевой функции  вводится сумма бюджетов всех стран, которая должна достигать максимума:

Математическая модель сбалансированной международной торговли сводится к следующей оптимизационной  задаче линейного программирования.

Необходимо найти максимум целевой функции

при ограничениях:

-0,64х₁ + 0,15х₂ + 0,6х₃ + 0,22х₄ = 0

0,34х₁ - 0,65х₂ + 0,2х₃ + 0,28х₄ = 0

0,2х₁ + 0,3х₂ - 0,9х₃ + 0,2х₄ = 0

0,1х₁ + 0,2х₂ + 0,1х₃ - 0,7х₄ = 0

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ ≤ 9000

Решение задачи осуществим средствами Excel.

Задание исходных данных на рабочем листе Excel приведено на рис. 1.

Рис. 1. Исходные данные в Exсel

 

В ячейки В2:Е6 занесены коэффициенты при системе ограничений, в ячейках G2:G6 содержатся ограничения в правых частях, в ячейки I2:I6 занесены формулы левых частей ограничений, ячейки В9:Е9 содержат изменяемые переменные х₁, х₂, х₃, х₄.

В ячейке I2 записана формула  ограничений =СУММПРОИЗВ(B2:E2;B9:E9).

В ячейке I3 =СУММПРОИЗВ(B3:E3;B9:E9)

В ячейке I4 =СУММПРОИЗВ(B4:E4;B9:E9)

В ячейке I5 =СУММПРОИЗВ(B5:E5;B9:E9)

В ячейке I6 =СУММПРОИЗВ(B6:E6;B9:E9)

Формула целевой функции =СУММПРОИЗВ(B8:E8;B9:E9) занесена в ячейку С10.

Процесс решения –  занесение в окно Поиск решения  ячейки с формулой целевой функции, занесение изменяемых ячеек, внесение ограничений приведено на рис. 2.

Рис. 2. Решение задачи средствами Excel

 

В окне Параметры отметим: Линейная модель, Неотрицательные значения, Автоматическое масштабирование (рис. 3).

Рис. 3. Окно Параметры

 

Рис. 4

 

На рис. 4 приведены результаты решения, согласно которым национальные доходы четырех стран равны:

х₁ = 2912,6 млн. ден. ед.

х₂ = 2735,4 млн. ден. ед.

х₃ = 1885,0 млн. ден. ед.

х₄ = 1466,9 млн. ден. ед.

Из содержимого ячеек I2:I6 видно, что все ограничения выполнены.

Значение целевой функции (ячейка С10) равно 9000 млн. ден. ед.

 

Заключение

 

Международная торговля — система международных товарно-денежных отношений, складывающаяся из внешней  торговли всех стран мира.

Международная торговля возникла в процессе зарождения мирового рынка в XVI—XVIII веках. Её развитие — один из важных факторов развития мировой экономики Нового времени.

Матричную алгебру ценят  за краткость, простоту и наглядность. Универсальный характер матричных  выражений позволяет приложить  одни и те же методы анализа и к малому, и к большому массивам исходных данных. Количество исходных данных влияет только на объем вычислений, а это в свою очередь определяет продолжительность и стоимость работ. Роль этих факторов стремительно уменьшается в связи с использованием быстродействующих электронных вычислительных машин.

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел.

Используемая в настоящее  время стандартная модель международной  торговли объединяет различные теории, развивающие фундаментальные положения классических теорий на основе использования концепций предельных величин и общего равновесия экономической системы.

Базовые понятия стандартной  модели были разработаны английскими  экономистами Френсисом Эджуортом  и Альфредом Маршаллом и американским экономистом австрийского происхождения Готфридом Хаберлером.

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора  и собственного значения матрицы  была рассмотрена линейная модель обмена (модель международной торговли).

 

Список литературы

 

1. Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. Учебное пособие. – М.: Дрофа, 2004.
2. Колемаев В.А. Математическая экономика. Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.
3. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. – М.: ЮНИТИ, 2006.
4. Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2007.
5. Орехов Н.А., Левин А.Г., Горбунов Е.А. Математические методы и модели в экономике. Учебное пособие для вузов / Под ред. проф. Н.А. Орехова – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
6. Самаров К.Л., Шапкин А.С. Задачи с решениями по высшей математике и математическим методам в экономике: Учебное пособие – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2007.
7. Таха Х.А. Введение в исследование операций. – М.: ВИЛЬЯМС, 2007.
8. Экономико-математическое моделирование. Учебник для вузов / Под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. – М.: Изд. «Экзамен», 2004.