Интерполирование алгебраическими многочленами

Лабораторная  работа №4

 

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ  АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ.

 

1. Постановка задачи.

Пусть и заданы точки , (узлы интерполирования), в которых известны значения функции . Задача  интерполирования состоит в том, чтобы построить многочлен:

степени n, значения которого в заданных точках  , совпадают со значениями функции в этих точках. Такой полином существует и единственен.

Интерполяционный многочлен  степени не выше n по системе алгебраических многочленов 1, х, х²,…,xⁿ можно задать по формуле Лагранжа:

 ,где   ,

 

.

 

Обозначая  

получим  “барицентрический” вид многочлена Лагранжа:

2. Интерполяционная формула Ньютона.

Формула Ньютона является разностным аналогом формулы Тейлора и имеет вид:

(2.1)

где  ,  i,j=0,1,…,n,      

i≠j –разделенные разности первого порядка,

,        i,j,k=0,1,…,n,

   i≠j≠k – разделенные разности второго порядка,

– разделенные разности k-го порядка.

При выводе формулы Ньютона  не накладывается ограничений на порядок узлов x0,x1,…,xn , поэтому множество интерполяционных формул можно получить из (2.1) перенумерацией узлов.

 

3. Погрешность интерполирования.

Заменяя функцию  интерполяционным многочленом , мы допускаем погрешность:

,

 которая называется погрешностью интерполирования или остаточным членом интерполяционной формулы. Если функция имеет непрерывную (n+1)-ю производную, то имеет место следующая оценка остаточного члена:

(3.1) ,

где   ,  .

Погрешность интерполирования можно  представить также через разделенную  разность следующим образом:

 

4. Минимизация остаточного члена интерполирования.

Из формулы (3.1) следует, что для данной функции погрешность интерполирования зависит от выбора узлов на отрезке [a,b]. Величину можно минимизировать за счет выбора узлов интерполирования

,   i=0,1,…,n.

Такими оптимальными узлами для отрезка [1,-1] являются корни многочлена Чебышева первого рода:

,

которые вычисляются по формуле:

,  k=0,1,…,n. 

В случае произвольного отрезка [a,b] из этого равенства получим формулу для оптимальных узлов:

,  k=0,1,…,n.

При этом оценка (1.3) примет вид:

,    и  .

 

5. Интерполирование по равноотстоящим узлам.

Приведем некоторые интерполяционные формулы для случая равноотстоящих узлов.

Пусть на отрезке [a,b] задана равномерная сетка , k=0,1,…,n и значения функции , h>0.

Пусть -- точка интерполирования. Тогда, используя (2.1), получаем первую интерполяционную формулу Ньютона:

где  ,   ,  i=0,1,…,k-n

конечные разности.

 

Положив , получаем вторую интерполяционную формулу Ньютона:

Для двух последних интерполяционных формул оценка

погрешности интерполирования имеет  вид: 

,

.

При малых значениях h и при условии непрерывности

можно приближенно считать:

, где   .

Тогда оценка остаточных членов первой и второй интерполяционных формул Ньютона  имеет вид:

1. .

Формула (5.1) удобна тем, что позволяет делать оценку ошибки интерполирования без исследования (n+1)-й производной функции . На окончательную погрешность интерполирования, разумеется, влияет и вычислительная погрешность, поэтому при вычислении интерполяционных многочленов желательно сводить число арифметических операций к минимуму.

 

6. Примеры:

 

1. Построить многочлен наименьшей степени, принимающий в данных точках следующие значения:

 

Х	0	1	2	5
У	2	3	12	147

 

Вычислить в точке х=3 приближенное значение функции.

Решение: Воспользуемся формулой Лагранжа:

 ,

 где   ,     получим:

 

 

2. С какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа

ln 100,5 по известным значениям ln 100, ln 101, ln 102, ln 103, ln 104 ? 

Решение: Согласно формуле для остатка .

Поскольку , то ,

 Вычисляя:

w(x)=(100.5-100)(100.5-101)(100.5-102)(100.5-103)(100.5-104)=

=3.28125 . Подставляя это в формулу для остатка, получаем:

.

Поэтому:

 

3. Найти сумму конечного ряда нечетных чисел

S(p)=1+3+5+…+(2p-1)

Решение: Известно, что S(p) является некоторым многочленом относительно p. Применим интерполяционную формулу Ньютона. Составим таблицу разделенных разностей для S(p), а именно

  ,

,

Таблицу составляем до тех пор, пока не получим разделенные разности, равные нулю.

 

P	S(p)	S(p,p+1)	S(p,p+1,p+2)	S(p,p+1,p+2,p+3)
1 2 3 4 5	1 4 9 16 25	3 5 7 9	1 1 1	0 0

 

Поскольку разделенные разности третьего порядка равны нулю,то S(p) является многочленом второй степени. Подставим подчеркнутые члены в формулу интерполяционного многочлена Ньютона, имеем:

S(p)=1+3(р-1)+1(р-1)(р-2)=р²

 

7. Контрольные задания:

Найти многочлен наименьшей степени, принимающий в данных точках заданные значения:

Вариант-1:    Вариант-2:               Вариант-3:

X	Y		x	y		x	Y
1,45 1,36 1,14	3,14 4,15 5,65		0 1 5	2 3 147		0 1,5 6,8	1,45 3,14 4,11

 

 

Дана таблица значений функции  f(x):

X	2,0	2,3	2,5	3,0	3,5	3,8	4,0
f(x)	5,848	6,127	6,300	6,694	7,047	7,243	7,368

 

Пользуясь формулой Лагранжа, найти  значения функции в указанных  точках:

Вариант-4:  2,22;

Вариант-5:   2,41;

Вариант-6:   2,78;

Вариант-7:  3,34;

Вариант-8:  3,75;

Вариант-9:  3,88.

 

 

Используя “барицентрический” вид  многочлена Лагранжа, найти значения функций, заданных таблицами, в указанных  точках:

Вариант-10:

X	14	17	31	35
F(x)	68,7	64,0	44,0	39,1

Найти f(20).

 

Вариант-11:

X	93,0	96,2	100,0	104,2	108,7
f(x)	11,38	12,80	14,70	17,07	19,91

Найти f(102).

 

Вариант-12:

X	0	2	3	6	7	9
F(x)	658503	704969	729000	804357	830584	884736

Найти f(5).

 

 

Построить интерполяционные многочлены Ньютона для функции 

 по следующим узлам: 

Вариант-13:  х=1, 2, 4, 8, 10;

Вариант-14:  х=2, 4, 8, 10;

Вариант-15:  х=4, 8, 10;

Вариант-16:  х=2, 4, 8.

(Для всех этих случаев вычислить  приближенное значение lg5,25. Получить оценку погрешности остаточного члена.)

 

 

По данным таблицам значений функций  определить значение аргумента х, соответствующее указанным значениям у, пользуясь многочленом Ньютона:

 

Вариант-17:  у=0

Х	1	2	2,5	3
У	-6	-1	5,625	16

 

 

Вариант-18:  y=20

X	4	6	8	10
Y	11	27	50	83

 

 

Просуммировать конечные ряды:

Вариант-19: 1²+2²+3²+…+(n-1)²+n²;

Вариант-20: 1³+2³+3³+…+n³;

Вариант-21: 1²+3²+5²+…+(2n-1)²;

Вариант-22: 1³+3³+5³+…+(2n-1)³.

 

 

Дана таблица значений функции  y=shx.

X	Shx		x	Shx
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4	1,17520 1,33565 1,50946 1,69838 1,90430		1,5 1,6 1,7 1,8	2,12928 2,37557 2,64563 2,94217

 

 Найти приближенные значения shx для следующих значений аргумента:

Вариант-23: 1,01; 1,02; 1,03; 1,11; 1,12; 1,13;

(использовать первую интерполяционную формулу Ньютона)

 

Вариант-24: 1,75; 1,76; 1,78; 1,79.

( использовать вторую интерполяционную формулу Ньютона)