Интегральное счисление

Попытки построить анализ бесконечно малых и теорию рядов  в полном соответствии с основными  понятиями и истинами “низшей” математики с самого начала к успешным результатам не привели. Поэтому  Лейбниц и его последователи  пытались оправдать принципы анализа  бесконечно малых путем сравнения  бесконечно малой с песчинкой, которой  можно пренебречь при вычислении высоты горы, посредством ссылок на вероятность и т. п.

Другая попытка была предпринята  в конце XVIII века. Известный немецкий математик Вессель предложил оставить анализ бесконечно малых в анализе в качестве “полезных вспомогательных функций”. Однако, такая трактовка широкого распространения не получила - математики знали механическое и геометрическое истолкование dx и dy .

Примерно с последней  четверти XVIII века область приложений математического анализа начинает значительно перекрывать границы  его обычного приложения в механике и геометрии. Ещё быстрее развертывается этот процесс в первой четверти XIX века.

Математики пытались сначала  решать новые задачи методами, разработанными классиками XVIII века - Эйлером, Даламбером, Лагранжем и другими. Однако, вскоре выяснилось, что методы классиков недостаточны, что надо развивать новые, более общие и сильные методы. Выяснилось также, что недостаточность методов классиков нередко связана с узостью трактовки основных понятий, с “изгоняемым” понятием о бесконечно малом, с “исключениями”, которые раньше оставались в тени.

Поясним сказанное одним  примером.

Ньютон и Лейбниц разработали  две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих  значений первообразной функции:

,

где F ^` (x)=f(x) .

Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.

.

Первая трактовка отвечала технике вычисления определенных интегралов при помощи первообразной подынтегральной  функции, вторая - потому, что в приложениях  определенный интеграл появлялся как  предел известного вида суммы (интегральной суммы).

Примерно до последней  четверти XVIII века первая трактовка  понятия определенного интеграла  занимала господствующее положение. Этому  способствовали два обстоятельства.

С момента установления правил дифференцирования всех элементарных функций в начале XVIII века, началась успешная разработка методов нахождения их первообразных (рациональных, отдельных  классов иррациональных и трансцендентных  функций). Благодаря этому точка  зрения Ньютона вполне отвечала развитию эффективных алгоритмов интегрального  исчисления.

Непосредственное вычисление как предела интегральной суммы столкнулось с многими трудностями. Это обстоятельство укреплению точки зрения Лейбница, естественно, не способствовало.

Эйлер. Понятие об интегральной сумме.

Определение простого определенного  интеграла по Лейбницу опиралось  на понятие о бесконечно малых  величинах, от которого математики XVIII века стремились освободить математический анализ. Это обстоятельство также  способствовало укреплению точки зрения Ньютона.

Это хорошо подтверждается тем, как Леонард Эйлер использовал  понятие об интегральной сумме. Он не возражал против приближенного вычисления определенных интегралов при помощи соответствующих интегральных сумм, но рассматривать определенный интеграл как предел интегральной суммы не представлялось возможным, потому что  этом случае все слагаемые интегральной суммы становились бесконечно малыми, то есть, с точки зрения Эйлера, были нулями.

Быстро пробежимся по основным вехам эйлеровской биографии. В 1963 г. 23-летний Пауль Эйлер окончил курс теологии в Базельском университете. Но потому что учёных теологов было в те годы больше, чем требовалось, он получил официальную должность священника сиротского дома в Базеле лишь в 1701 г.. 19 апреля 1706 г. пастор Пауль Эйлер женился на дочери священника. А 15 апреля 1707 г. у них родился сын, названный Леонардом. Начальное образование будущему учёному дал отец, учившийся некогда математике у Якоба Бернулли. Отец готовил старшего сына к духовной карьере, но, несмотря на это, однако занимался с ним и математикой – как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. Мальчик увлёкся математикой, стал задавать отцу вопросы один сложнее другого.

Когда у Леонардо проявился  интерес к учёбе, его направили  в Базельскую латинскую гимназию – под надзор бабушки.

20 октября 1720 г. 13-летний  Леонард Эйлер стал студентом  факультета искусств Базельского университета. Мечта отца о том, что бы Эйлер стал священником сбывалась. Но любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына направили молодого учёного по иному пути.

Он легко усваивал учебные  предметы, отдавая предпочтение математике. И естественно, что способный  мальчик вскоре обратил на себя внимание Бернулли, который посоветовал юноше  читать математические мемуары, а по субботам пригласил приходить к  нему домой, чтобы совместно разбирать  прочитанное. В доме своего учителя  Эйлер подружился с сыновьями  Бернулли – Николаем и Даниилом, также увлечённо занимавшимися  математикой. А 8 июня 1724г. 17-летний Леонард  Эйлер произнёс по- латыни великолепную речь о сравнении философских  воззрений Декарта и Ньютона - и был удостоен учёной степени  магистра (в XIX в. в большинстве университетов  Западной Европы ученая степень магистра была заменена степенью доктора философии).

Эйлер просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. В 1735 г. Академия получила задание выполнить  срочное и очень громоздкое астрономическое  вычисление. Эйлер взялся выполнить  работу за 3 дня – и справился  самостоятельно, в то время, как группа признанных академиков просила на эту работу три месяца. Перенапряжение не прошло бесследно: Эйлер заболел и потерял зрение на правый глаз. Но талантливый учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: “Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой”, - философски заметил он.

До этого Эйлера знал лишь узкий круг учёных. Мировую славу  ему принесло двухтомное сочинение  “ Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении ”, изданное в 1736 г, где Эйлер блестяще применил методы математического анализа  к решению проблем движения в  пустоте и в сопротивляющейся среде. “Тот, кто имеет достаточные  навыки в анализе, сможет всё увидеть  с необычайной лёгкостью и  без всякой помощи прочитает работу полностью”, - заканчивает Эйлер  своё предисловие к книге.

Леонард Эйлер начал прокладывать аналитический путь развития точных наук, применения дифференциального  и интегрального исчисления для  описания физических явлений, который  требовал дух времени.

Концепция Ньютона и до последней четверти XVIII века сталкивалась с трудностями. В этот период встречались  элементарные функции, первообразные  которых не могут быть выражены через  элементарные функции, математики знали  и некоторые несобственные интегралы, в том числе и расходящиеся. Но такого рода факты были единичными и установившейся эффективной концепции  интеграла нарушить не могли.

Положение изменилось лишь в последней четверти XVIII и, особенно, в начале XIX века.

С 70-х годов XVIII века решение  задач аналитической механики, физики и других дисциплин потребовало  продолжения развития понятия и  употребления определенного интеграла, особое значение приобретают двойные  и тройные интегралы (Эйлер, Лагранж, Лаплас и др.).

К этому времени великие  идеи Ньютона и Лейбница были только-только опубликованы, и современный математический анализ только начал создавался. Эти  идеи породили мощные методы, которые  стали применять во всех отраслях точного знания. Применение это шло  рука об руку с развитием самого анализа, часто указывая пути, по которым  должно развиваться новое исчисление.

Проблема двойных и  тройных интегралов.

Эта эпоха математического  творчества оказалась единственной по своей интенсивности, а Эйлер - одним из немногих по своей продуктивности учёным. Его творения: "Введение в  анализ бесконечно малых", "Основания  дифференциального исчисления" и "Основания интегрального исчисления" стали первыми трактатами, которые  объединили уже обширный, но вместе с тем разрозненный материал нового анализа в цельную науку. В  них была разработана та основа современного анализа, которая сохранилась и  до нашего времени.

Исследование методов  вычисления двойных и тройных  интегралов показала, что вычисление этих интегралов методом вычисления обычного определенного интеграла - при помощи неопределенного, невероятно трудно, поэтому математики сохранили  концепцию Ньютона только на словах, а на деле, при решении задач  точных наук, приняли сторону Лейбница. Так они вычисляли соответствующие  интегральные суммы (в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах) и находили их пределы.

Таким образом, поиск методов  вычисления новых видов определенного  интеграла показал, что обыкновенный, двойной и т. д. определенный интегралы  должны быть обоснованы сами по себе независимо от понятия неопределенного интеграла. Но каждое слагаемое любой интегральной суммы является бесконечно малой  величиной. Ставился вопрос не только о легализации ранее “изгоняемого”  понятия бесконечно малого, но и  о раскрытии его реального  содержания и о соответствующем  его применении. Как говорилось ранее, чтобы всё это сделать, появилась  необходимость преодолеть, обобщить, развить традиционное, каким было признано Эйлерово, толкование функции и понятия предела.

Коши - решение парадокса  существования конечных сумм из бесконечно малых слагаемых.

Возник естественный вопрос о возможности существования  пределов интегральных сумм, имеющих  бесконечно малые слагаемые. Так  в первой четверти XIX века, избегаемое ранее, понятие бесконечно малой  оказалось необходимым и для  изучения и для сопоставления  свойств непрерывных и разрывных  функций.

Основополагающих результатов  добился в развитии этого вопроса  Коши. “Между многими понятиями, - указывал Коши, - тесно связанными со свойствами бесконечно малых, следует поместить  понятие о непрерывности и  прерывности функций”. Здесь же Коши дал определение непрерывности  функции, которое более чем ясно подтвердило ясность этого его  утверждения.

Новая постановка задач обоснования  математического анализа дала понять, что вопрос не только в признании  и применении бесконечно малых - это  делали и раньше! - ,но прежде всего в научном истолковании их содержания и обоснованном на этом использовании их в алгоритмах математического анализа.

Но чтобы этого добиться, необходимо было преодолеть господствовавшее в XVIII веке узкое толкование понятия  предела, разработать новую общую  теорию пределов.

Исследование разрывных  функций, а также сравнение их с функциями непрерывными заставило  признать то, что ранее считалось  невозможным: предел, к которому стремиться последовательность значений функции, при стремлении аргумента в некоторой  точке может оказаться отличным от значения функции в этой точке.

Получается, что предел не всегда является конечным значением  переменной, но во всех случаях предел является числом, к которому переменная неограниченно стремится. Следовательно, dx и dy не необходимо нули или “мистически” актуально бесконечно малые; бесконечно малая - это переменная, имеющая пределом нуль, причем факт не является противоречием или парадоксом.

Вторую ограничительную  тенденцию в принятой ранее трактовке  понятия предела также преодолел  Коши. Он признал, что переменная может  приближаться к своему пределу не только монотонно, но и колеблясь- принимая порой значения, равные её пределу. Эта формулировка придала теории Коши необходимую общность и исключительную гибкость.

Заключение.

Математики до сих пор  следуют пути, намеченному Огюстеном  Луи Коши, но лишь с теми усовершенствованиями, которые внёс во второй половине XIX века К. Вейерштрасс.

Работы Коши и Вейерштрасса завершили создание классического  математического анализа, подведя  итог многовековому развитию интегрального  исчисления.

Литература 

1. Большакова А. А. Три кризиса в развитии математики. Дипломная работа; Астрахань : АГПИ, 1996.
2. Детская энциклопедия для среднего и старшего возраста. Т.2; М.: Просвещение, 1965.
3. Математическая энциклопедия. Ред. Виноградова. Т.2; М.: Сов. Энциклопедия, 1979.
4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1; М.: Наука, 1968.