Функцияның графигін салудың жалпы сүлбесі

Жоспар

1.Функцияны және оның  графигін зерттеу

2.Функцияның дөңестігі  және ойыстығы. Иілу нүктелері.  

 Функция графигінің  асимптоталары 

3.Қолданған әдебиеттер тізімі  

 

 

 

                    Функцияны және оның графигін зерттеу

Дифференциалдық есептеулердің маңызды есептерінің бірі функцияны зерттеудің жалпы амалдарын қарастыру болып табылады.

у=ƒ(х)функциясы қандай да бір интервалда өспелі (кемімелі) деп аталады, егер х1<х2 үшін ƒ(х1)<ƒ(х2)(ƒ(х1)>ƒ(х2))теңсіздігі орындалса, яғни аргументтің үлкен мәніне функцияның үлкен мәні сәйкес келсе.

Функцияның өсу белгілерін атапөтейік.

1. Егер [а;b] кесіндісінде дифференциалданатын y=ƒ(x)функциясы өспелі (кемімелі) блса, онда осы кесіндіде функцияныңтуындысы теріс емес (оңемес), ягни f΄(x)> 0 (f΄(х)<0).

2.Егер [a;b] кесіндісінде үздіксіз және оныңішінде дифференциалданатын функцияныңоң(теріс) туындысы бар болса, онда функция осы кесіндіде өседі (кемиді).

y=f(x) функциясы қандай да бір интервалда кемімейтін (өспейтін) деп аталады, егер осы интервалдан алынған кез-келгенх1<х2үшінƒ(х1) ≤ƒ(x2)(ƒ(х1)≥f(x2))теңсіздігі орындалса.

Функция кемімейтін немесе өспейтін интервалдар функцияның монотондық интервалдары деп аталады. Функцияның туындысы нөлге айналатын немесе үзілетін нүктелері оның кризистік нүктелері деп аталады.

Егер кез-келген |Δх|≠0 шексіз аз үшін f(x1+Δx)<f(x1)теңсіздігі орындалса, онда х1нүктесі y=f(x)функциясының локальды максимум нүктесі деп аталады. Егер кез-келген |Δх|≠0  шексіз аз үшін f(x2+Δx)>ƒ(x2)х2 теңсіздігі орындалса, онда х2 ннүктесіу=f(x)функциясының локальды минимум нүктесі деп аталады. Максимум және минимум нүктелері функцияның экстремум нүктелерідеп аталады.

Теорема 1 (локальды экстремумның қажетті шарты). Егер y=f(x)функциясыныңх=х0 нүктесінде экстремумы бар болса, ондаƒ΄(х0)=0 немесе f(x0)жоқ.

Теорема 2 (локальды экстремумның бірінші жеткілікті шарты). y=f(x)функциясы х=х0 нүктесі жататын қандай да бір интервалда үздіксіз және осы интервалдыңбарлықнүктелерінде дифференциалдансын. Егер х<х0 болғанда f(x)>0, ал х>х0болғанда f(х)<0болса, онда х=х0 нүктесінде у=f(x)функциясыныңмаксимумы бар. Егер де х<х0 болғанда f(x)<0, алх>х0болғанда f(x)>0 болса, онда х=х0 нүктесінде y=f(x)функциясыныңминимумы бар.

Теорема 3 (локальды экстремумның екінші жеткілікті шарты).y=f΄(x)функциясы екі рет дифференциалдансын жәнеf(х0)=0болсын. Онда х= х0нүктесінде функцияныңлокальды максимумы бар, егер f"(х0)<0 және локальды минимумы бар, егерƒ"(х0)>0болса.

f"(х0)=0болса, онда х=х0 нүктесінде экстремум болмауы да мүмкін.

Функцияның   дөңестігі   және   ойыстығы.  Иілу нуктелері.       

             Функция графигінің асимптоталары.

y=f(x)функциясымен берілген қисық (a; b)интервалында дөңес деп аталады, егер қисықтың барлық нүктелері осы интервалдағы оның кез-келген жанамасынан жоғары жатпаса және (а;b)интервалында ойыс деп аталады, егер қисықтың барлық нүктелері осы интервалдағы оның кез-келген жанамасынан төмен жатпаса.

Қисықтың дөңес бөлігін ойыс бөлігінен бөліп жататын М(х0, f(x0))нүктесі қисықтың иілу нүктесі деп аталады. М нүктесінде қисықтың жанамасы бар деп есептеледі.

Теорема (функция графигінің дөңестігінің (ойыстығының) жеткілікті шарты). Егер (а;b)интервалының барлық нүктелерінде y=f(x) функциясының екінші туындысы теріс (оң), яғни f"(x)<0 (f"(x)>0)болса, онда y=f(x)қисығы осы интервалда дөңес (ойыс).

Иілу нүктесінде функцияның екінші туындысы өзінің таңбасын өзгертеді, сондықтан ол нөлге айналады немесе жоқ болады.

Теорема (иілу нүктесінің жеткіліктілік белгісі). Егер х=х0нүктесінде ƒ"(х0)=0немесе ƒ"(х0)жоқ болса және осы нүктеден өткенде f"(x)өзінің таңбасын өзгертсе, онда абсциссасы х=х0 болатын нүкте y=f(x)қисығының иілу нүктесі.

L түзуі y=f(x)қисығының асимптотасы деп аталады, егер қисықтың М нүктесінен L түзуіне дейінгі қашықтық М нүктесі шексіздікке ұмтылғанда нөлге ұмтылса.

Егер            х=хi      (і=1,...,п)      нүктелері      бар      болып

lim f(x)= ±∞, болса, онда х= хi  түзулері у=ƒ(х)қисығының тік

(вертикаль) асимптоталары деп аталады.

Егер                   ƒ(х)                    

k= lim—— , b= lim (ƒ(х)-kх),шектері бар болса, онда              

           х→∞     х             х→∞          

 

y=kx+b түзлеріy-f(x)қисығының көлбеу асимптоталары деп аталады. (k=0 болғанда, көлденең (горизонталь) асимптотасы). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қолданылатын әдебиеттер тізімі

1. Ә.Б.Түнғатаров: Экономикалық мамандықтарға  арналған жоғары математика курсы. Алматы.: Экономика. 2001.

2.  А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева Курс высшей математики для экономических вузов: В 2-х частях. М.: Высшая школа, 1982.

3.  В.П. Минорский Сборник задач по высшей математике. М.: Высшая школа, 1987.

4.Қ.Е.Кервенев, К.С.Сағындықова: Математикалық  емес факультеттерде оқылатын  «Математика» пәнінен оқытушылар  мен студенттерге арналған әдістемелік  нұсқау. Iбөлім - Векторлық және сызыктық алгебра элементтері.- Қарағанды, ҚарМУ баспасы, 2004.

5. В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович Краткий  курс высшей математики. М.: Высшая  школа, 1989.