Функция нескольких переменных

Разность 
Разностью комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = c + di называется комплексное число z = z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i. 

Частное 
Частным от деления комплексного числа z1 на комплексное число z2 называется такое число z, которое удовлетворяет условию z? z2 = z2 ? z= = z1.

 

37 тригометрическая  и показательная формы комплексного  числа 

Комплексное число  изображается на плоскости точкой или, эквивалентно, вектором с координатами  (рис.1), и при таком способе задания  операции сложения будет соответствовать векторное сложение. Плоскость называется комплексной плоскостью, ось - действительной осью и - мнимой осью.

       Рис.1.      В полярной системе координат  на комплексной плоскости число   будет определяться парой действительных чисел  (рис.1). Из уравнений, связывающих декартовую и полярную системы координат, следует:

 (8)

и  имеет смысл модуля , а  называется аргументом числа , . С использованием (8) число  запишется  как

(9)

и называется тригонометрической формой записи комлексного числа . Отметим, что аргумент определен с точностью до целого кратного , что записывается как

(10)

Выражение в скобках  формулы (9) может быть преобразовано  с помощью соотношения:

(11)

которое называется формулой Эйлера и позволяет получить еще один способ записи комплексных чисел

 (12)

Выражение (12) называется показательной формой записи комплексного числа и является одной из наиболее часто встречающихся в комплексном  анализе. Использование символа  экспоненты в (11) указывает на то, что эта величина должна обладать и теми же свойствами.

 

 

38 Понятие о  дифференциальных уравнениях.Виды  решения. Теорема Коши.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее  искомую функцию одной или  нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.  Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких - то уравнением в частных производных.

Например, уравнение 2xy'-3y=0', где y=y(x), является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, а u'x-u'y+1=0, где u=u(x,y), дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка.

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде:  F(x,y,y',…,у(n))=0, (1)

где F - некоторая функция  от n+2 переменных, n1, при этом порядок n старшей производной, входящей в  запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения. Например, задача о нахождении первообразной  приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, уравнение x2(y''')4-x(y')5+8=0 третьего порядка и т.д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется разрешенным  относительно старшей производной, если оно имеет вид:  y(n)=F(x,y,y',…,y(n-1))

где F –некоторая функция  от n+1 переменной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решением дифференциального  уравнения (1) называется такая функция y=y(x), которая при подстановке  её в это уравнение обращает его  в тождество. Например, функция y=sinx является решением уравнения y''+y=0, так  как (sinx)''+sinx=0 для любых х.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Задача о  нахождении решения некоторого дифференциального  уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального  уравнения называется интегральной кривой.

Пример 1. Решить уравнение у''=х.

Поскольку y''=, то исходное уравнение равносильно следующему равенству дифференциалов: dy'=xdx. Выполняя почленное интегрирование, получаем y'=+C1, где C1 произвольная постоянная. Вновь  записывая производную как отношение  двух дифференциалов, приходим к равенству dy=(+C1)dx. Интегрируя почленно, окончательно получаем y=+C1x+C2, где C1 - произвольная постоянная.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общим решением дифференциального уравнения (1) n-го порядка называется такое решение:

y=φ(x,C1,…,Cn) (2)

которое является функцией переменной x и n произвольных независимых постоянных C1,C2,…,Cn. (Независимость постоянных означает отсутствие каких - либо соотношений между ними). Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных C1,C2,…,Cn.

В примере 1 y=+C1x+C2 - общее  решение, y=+2x+1 - частное решение дифференциального  уравнения у''=х.

. Частное решение дифференциального уравнения Частным решением дифференциального уравнения на интервале  называется каждая функция y(x), которая при подстановке в уравнение вида  обращает его в верное тождество на интервале .

Зная общее решение  однородного дифференциального  уравнения и любое частное  решение неоднородного уравнения, можно получить общее решение неоднородного уравнения в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Общее решение дифференциального уравнения Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида обращает его в тождество. Если каждое

 

39 Неполные  дефференциальные уравнения и  методы решения 

Неполные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение  первого порядка  называются неполными, если в нем не содержится (явно) или сама функция у, или независимая переменная х.

В том случае, когда  правая часть дифференциального  уравнения не содержит самой функции  у, оно принимает вид:

 или , или .

 

Отсюда .

Таким образом, получено общее решение неполного дифференциального уравнения. Фактически это задача об отыскании первообразной функции (т.е. это непосредственно задача неопределенного интеграла).

Во втором случае, т.е. когда дифференциальное уравнение  имеет вид , http://www.bgsha.com/ru/learning/images/matematika_yakovenko/3/26.png т.е. в уравнение явно не входит независимая переменная х.

Дифференциальное уравнение  принимает вид 

, т.е. получаем у  – как независимую переменную, а х – как функцию от у  (фактически это обратная функция по отношению к функции у от х).

Дифференциальное  уравнение второго порядка  имеет вид .

Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях и является решением этого уравнения.

Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .

Уравнение  будем называть линейным неоднородным уравнением.

Определение. Уравнение , которое получается из линейного  однородного уравнения заменой  функции  единицей, а и - соответствующими степенями , называется характеристическим уравнением.

Известно, что квадратное уравнение имеет решение, зависящее от дискриминанта : , т.е. если , то корни и - действительные различные числа. Если , то . Если же , т.е. , то   будет мнимым числом, а корни и - комплексными числами. В этом случае условимся обозначать .

 

 

40 Дифференциальные  уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение  вида

или

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Заметим, что в данных дифференциальных уравнениях каждая из функций зависит только от одной переменной, т.е. происходит разделение переменных.

Для решения такого дифференциального  уравнения необходимо домножить  или разделить обе части дифференциального  уравнения на такое выражение, чтобы  в одну часть уравнения входили  только функции от и   , в другую часть уравнения - только функции от , . Затем в полученном дифференциальном уравнении надо проинтегрировать обе части:

 

 

Следует заметить, что  при делении обеих частей дифференциального  уравнения на выражение, содержащее неизвестные   и , могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в ноль.

Обратим внимание, что  дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными легко сводятся к  интегрированию.

 

решение дифференциального  уравнения представимо в виде:

где  — конкретные числа, то функция вида   при всех допустимых значениях параметров (неопределённых констант)    называется общим решением дифференциального уравнения.

 

41 Однородные  дифференциальные уравнения первого  порядка

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка, называется уравнение, имеющее вид

 

  (7)

 

Подстановка ; , где   преобразует это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

 

,

 

,

 

Замечание. Функция  называется однородной степени , если , где   - некоторая константа. Например, функция   является однородной функцией степени два, поскольку

 

А функция  является однородной функцией нулевой степени однородности, так как

 

.

 

Поэтому общий вид  однородного дифференциального  уравнения часто записывают как

,

где  - однородная функция  нулевой степени однородности.

 

ТЕОРЕМА.(теорема  Коши). Если функция f(х,y) и ее частная производная f'y(х,y) определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя точка (x0,y0) области G, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение уравнения у'=f(x,у), удовлетворяющее условиям:    у =у0 при х =х0 (6)

 

42. первого  порядка.

Уравнение вида

 

          F(x, y, y^/) = 0                                                  (1.4) 

называется уравнением первого порядка.

В простейших случаях  оно может быть разрешено относительно

у^/=f(x,y).                                                                 (1.4’)

Общее решение (1.4) имеет  вид

                           у=j(х,С),                                                               (1.5)

 где С - константа.

 Геометрически   общее решение представляет собой  семейство интегральных кривых.

Интегральные кривые обладают тем свойством, что все  касательные в точке М(х,у) имеют наклон tga = f ’(x,y).

  Если задать точку  М₀(х₀,у₀), через которую должна проходить интегральная кривая, то это требование называется начальным условием

y = у₀, х = х₀ и тогда

                                   у₀ = j(х₀,С₀).

Определяется С - константа; в результате получаем частное интегральное решение у = j(х,С₀).

В этом состоит задача Коши.

Задача Коши.  Найти решение у = j(х) дифференциального уравнения (1.4’), удовлетворяющее начальному условию: у₀=j(х₀)

. З а м  е ч а н и е.  Нет общего метода интегрирования уравнения первого порядка. Обычно рассматривают некоторые отдельные типы таких уравнений, для каждого из которых дается свой способ.

 

43  Однородные  дифференциальные уравнения второго  порядка

Уравнение второго  порядка

 

Однородное  уравнение второго порядка:

a2y'' + a1y' + a0y = 0

 

интегрируется следующим образом:

 

Пусть λ1,λ2 —  корни характеристического уравнения.

a2λ2 + a1λ + a0 = 0,

 

являющегося квадратным уравнением.

 

Вид общего решения  однородного уравнения зависит  от значения дискриминанта :

при Δ > 0 уравнение  имеет два различных вещественных корня

 

Общее решение  имеет вид:

 

при Δ = 0 — два  совпадающих вещественных корня

 

Общее решение  имеет вид:

y(t) = c1e^αt + c2te^αt

при Δ < 0 существуют два комплексно сопряженных корня

 

Общее решение имеет вид:

y(t) = c1e^αt cos(βt) + c2e^αt sin(βt)

 

44.Линейные  дифференциальные уравнения второго  порядка с постоянными коэффициентами 

Дифференциальное уравнение                                        (16)

где коэффициенты – постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если  , то уравнение (16) называется неоднородным.

Если  , то уравнение (16) называется однородным.

I. Рассмотрим однородное  линейное дифференциальное уравнение  второго порядка с постоянными коэффициентами:

                                                     (17)

Общим решением уравнения (17) является функция 

                                             (18)

где – фундаментальная система решений уравнения (17).

Фундаментальной системой решений называется всякая система линейно независимых решений, содержащая столько функций, каков порядок дифференциального уравнения.

Функции называются линейно зависимыми в интервале , если существуют постоянные числа , не все равные нулю, такие что для любых . Если же указанное тождество выполняется только в случае, когда и , то функции называются линейно независимыми в интервале .