Формула Кардано

Формула Кардано — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

над полем комплексных  чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.

Любое кубическое уравнение  общего вида

может быть приведено к  указанной выше канонической форме  с коэффициентами p и q:

при помощи подходящей замены переменной вида .

Подставляя три последние  формулы в соответствующее кубическое уравнение, находим эту замену:

 

Формула

Определим Q:

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку  можно определить тип корней:

• Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.
• Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
• Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа.

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

где

Дискриминант многочлена y³ + py + q при этом равен Δ = − 108Q.

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений α  необходимо брать такое β, для  которого выполняется условие αβ = − p / 3 (такое значение β всегда существует).

Если кубическое уравнение  вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения α,β.

Вывод  

Представим уравнение  в виде

где y_i - корни уравнения.Тогда

Примем:

Тогда , решая уравнение (2) получим выражение для каждого y_i через α и β. Одним из корней будет . Подставив его в уравнение (1) получим.

α³ + β³ + (3αβ + p)(α + β) + q = 0

Подставляя q из (2), приходим к системе:

Зная, что в общем случае сумма α + β не равна нулю получаем систему

которая равносильна системе

Последняя представляет из себя формулы Виета для двух корней α³ и β³ квадратного уравнения: