Домашняя работа на исследование функций

 Российский государственный университета нефти и газа                                                                        

                                   Им.Губкина.

 

 

 

 

 

 

 

 

Домашняя работа на исследование функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                        Работу выполнила: студентка

                                                                                                          ЭМ-12-06

                                                                                                          Радченко А.А.

 

 

 

 

                                                                       Работу проверил: Русев В.Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                         Москва 2012г.

 

№1. Найдите область  определения функции.

 

      −−−−−−−−

y=√-2x²+7x-3

     ───────

     arcsin(2x-1)

 

Решение:

 

      -2x²+7x-3≥0

     

      -1≤2x-1≤1

    

        arcsin(2x-1)≠0

    

1)-2x²+7x-3=0     *(-1)

   

    2x²-7x+3=0    D=49-25=25>0; 2 разл.корня

                            x1=3    x2=0,5

 

 

 

 

             ┌──────────┐ 

   +                     ─                    +

─────•″″″″″″″″″″″″″″″″″″•───→x

           0,5                           3

 

 

 

 

 

2)  -1≤2x-1≤1                                                            3) 2x≠1

                                                                                      x≠0,5

     -1+1≤2x≤1+1

 

     0≤2x≤2

 

    0 ≤x≤1

 

 

 

                                         ┌────────────┐

                                 ┌────┐

                      ────•──○″″″•──────────•→x

                                0      0,5   1                           3

 

 

                                                                                                            ОТВЕТ: (0,5;1]

 

№2. По правилу Лопиталя.

 

             2x-П

lim(tgx)

x→П/2

   

 

 

 

Решение:

 

                  2x-П                                         lim(2x-п)∙tgx

          lntgx                 (2x-П)∙lntgx           x→П/2            

lim e                 =lim e                          = e                                                                                    

x→П/2             x→П/2       

                                                        

                                                        1

                   tgx                             ───                                      ²                   

                                                     cos²x                                  (2x-п)                   0            0

lim      ─────── = lim        ──────── = -lim    ─────── = - ─── = e  =1

x→П/2        1             x→П/2           2               x→П/2     2сos ²x              1

                                                   - ────

              ────                          (2x-п) ²

                 2x-п                            

 

 

 

Ответ:1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№3. Найдите max и  min функции

 

y=cosx + x                               x Є[0; П/2]

              −−

                2

 

 

Решение:

 

 

1) D(y)=[0;П/2]

 

2) y︠'=- sinx+1/2

 

3) sinx=1/2

 

   x1= П/6+2Пк, кЄZ                    x2=П-П/6+2Пк=5/6П

        

     х=П/6 Є[0; П/2]                       х=5/6П ∉ [0; П/2]                      

 

4) y''= -cosx

 

    y''(П/6)= - cosП/6= -√3/2

 

    x=П/6 ─точка max

 

 

5) y(0)=cos0+0/2=П/2

 

   х=0 ─точка min

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№4.Полное исследование функций

 

 y=    x³

       ──── 

         x²+1

 

 

1. D(y)= x Є R

 

2) асимптоты:

 

 

      ∙вертикальной  нет(так как хЄR)

 

      ∙ горизонтальная

            

                          x³

         у= lim ────=±∞

              x→±∞  x²+1

 

       ∙наклонная

 

            у=кх+b

 

                        x³

k=lim  f(x)   ──── =1       k=1

x→∞  ──      x²+1

              x

 

  x³                      x³-x³-x

b=lim  (f(x)-kx)=lim  (  ───  - x)= lim   ────=0         b=0

   x→∞              x→∞     x²+1          x→∞  x²+1

 

 

 

y=x →наклонная асимптота.

 

 

3)исследуем функцию  на честность и нечетность:

 

                 (-x)³              -x³

y(-x)= ──────= - ────= -f(x) сл-но, функция нечетная

               (-x²)+1          x²+1

 

 

 

        (x³)'(x²+1)-x³(x²+1)'        x²( x²+3)

4) y'=──────────      = ──────     y'=0     x=0

            ( x²+1)²                        ( x²+1)²                   

 

 

(т.к. производная для  xЄ R>0, то х=0 точка перегиба)

 

           2x(x²+1)(3-x)²

5) y''= ────────    y''=0    x1=0     x2=±√3

             (x²+1)²*²

 

 

6)

 

                                            

           +                       −                   +                    −

 

                      − √3                                     √3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№5.Полное исследование функций.

 

Y=ln(x²+2x+2)

 

 

1)D(y)=xЄR    (x²+2x+2)>0

 

2)асимптот нет, т.к. ln не может быть отрицательным.

 

3)исследуем функцию  на четность и нечетность:

 

Данная функция - общего вида

 

4) y'=2(x+1)           y'=0    x= -1 ТОЧКА MIN

       ─────

        x²+2x+2         MAX нет, т.к. она постоянно возрастает

 

 

5)y''=-2x(x+2)      y''=0     x1=0     x2=-2 ТОЧКА ПЕРЕГИБА 

        ──────  

        (x²+2x+2)²

 

 

 

    

6)     

 

 

 

 

 

                                                            

 

 

                       -2               -1            0   

 

 

 

 

 

y''(-1)>0                          y''(-3)<0                   y''(1)<0

y''(-0,5)>0                        y''(-1,5)>0

 

 

 

7)точка пересечения с оx

 

     x²+2x+2

lne              =0

 

                    0

x²+2x+2=e  =1

 

x²+2x+2=0   (x+1)²=0     x=-1

                                         ymin(-1)=0

 

 

8) построение графика.

 

 

 

 

 

P.S. печатала такими символами  первый раз =) надеюсь все разюберете=)