Дифференциальные уравнения в экономике

ДУ в экономике

 

Оглавление

 

 

Введение

В данной работе будут рассмотрены некоторые примеры применения теории дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики, а именно – модель естественного роста выпуска, рост выпуска в условиях конкуренции, динамическая модель Кейнса и неоклассическая модель роста. В этих моделях независимой переменной является время t. Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования экономической динамики.

 

1. Модель естественного роста выпуска

Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(t) количество продукции, реализованной на момент времени t; тогда на этот момент времени получен доход, равный PQ(t). Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции в производство реализуемой продукции, т.е.

(1)

где m — норма инвестиции — постоянное число, причем 0 < m < 1.

Если исходить из предположения о ненасыщаемости рынка (или о полной реализации производимой продукции), то в результате расширения производства будет получен прирост дохода, часть которого опять будет использована для расширения выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпуска (акселерации), причем скорость выпуска пропорциональна увеличению инвестиций, т.е.

(2)

где 1/l — норма акселерации. Подставив в (2) формулу (1), получим

(3)

Дифференциальное уравнение (3) представляет собой уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Общее решение этого уравнения имеет вид

,

где С — произвольная постоянная. Пусть в начальный момент времени t=t0 задан объем выпуска продукции Q0. Тогда из этого условия можно выразить постоянную С: , откуда . Отсюда получаем частное решение уравнения (3) — решение задачи Коши для этого уравнения:

(4)

Заметим, что математические модели обладают свойством общности. Так, из результатов биологических опытов следует, что процесс размножения бактерий также описывается уравнением (3). Процесс радиоактивного распада подчиняется закономерности, установленной формулой (4).

 

2. Рост выпуска в условиях конкуренции

В этой модели мы снимем предположение о ненасыщаемости рынка. Пусть Р = Р(Q) — убывающая функция, т.е. с увеличением объема продукции на рынке цена на нее падает: < 0 . Теперь из формул (1)-(3) мы получаем нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно Q с разделяющимися переменными:

(5)

Поскольку все сомножители в правой части этого уравнения положительны, то Q' > 0, т.е. функция Q(t) возрастающая.

Характер возрастания функции определяется ее второй производной. Из уравнения (5) получаем

 

Это равенство можно преобразовать, введя эластичность спроса

 

или, так как < 0, а значит, и Е < 0, окончательно получаем

)  (6)

Из уравнения (6) следует, что Q" > 0 при эластичном спросе, т.е. когда , и график функции Q(t) имеет направление выпуклости вниз, что означает прогрессирующий рост. При неэластичном спросе , и в этом случае Q" < 0 — направление выпуклости функции Q(t) вверх, что означает замедленный рост (насыщение).

Для простоты примем зависимость P(Q) в виде линейной функции

  (Pис.1)

Риc. 1

Тогда уравнение (5) имеет вид

(7)

откуда

(8)

Из соотношений (7) и (8) получаем:

Q' = 0 при Q = 0 и при Q = ,

Q" > 0 при Q < ,

Q" < 0 при Q > ;

Q = — точка перегиба графика функции Q = Q(t). Приведенный на рис.2 график этой функции (одной из интегральных кривых дифференциального уравнения (7)) носит название логистической кривой.

Рис. 2

 

3. Динамическая модель Кейнса

Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y(t), E(t), S(t), I(t) — соответственно национальный доход, государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения:

(9)

где a(t) — коэффициент склонности к потреблению (0 < а(t) < 1), b(t) — конечное потребление, k(t) — норма акселерации. Все функции, входящие в уравнения (9), положительны.

   Поясним смысл уравнений (9). Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу — этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве и конечного потребления — эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может быть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.

Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t) и E(t) заданы — они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода, или Y как функцию времени t.

Подставим выражения для S(t) из второго уравнения и для I(t) из третьего уравнения в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого порядка для функции Y(t):

(10)

Существует достаточно сложная формула общего решения этого уравнения. Мы проанализируем более простой случай, полагая основные параметры задачи а, b и k постоянными числами. Тогда уравнение (10) упрощается до линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

(11)

 

Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения (11) возьмем так называемое равновесное решение, когда Y’ = 0, т.е.

(12)

Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Общее решение однородного уравнения дается формулой , так что общее решение уравнения (11) имеет вид

(13)

Интегральные кривые уравнения (11) показаны на рис.3. Если в начальный момент времени Y0 < Yp , то С = Y0 - Yp < 0 и кривые уходят вниз от равновесного решения (12), т.е. национальный доход со временем падает при заданных параметрах задачи а, b, k и Е, так как показатель экспоненты в (13) положителен. Если же Y0 > Yp, то С > 0 и национальный доход растет во времени — интегральные кривые уходят вверх от равновесной прямой .

Риc. 3

 

4. Неоклассическая модель роста

Пусть Y = F(K, L) — национальный доход, где F — однородная производственная функция первого порядка (F(tK, tL) = tF(K, L)), К — объем капиталовложений (производственных фондов), L — объем затрат труда. Введем в рассмотрение величину фондовооруженности k = K/L, тогда производительность труда выражается формулой

(14)

Целью задачи, рассматриваемой в этом разделе, является описание динамики фондовооруженности или представление ее как функции от времени t. Поскольку любая модель базируется на определенных предпосылках, нам нужно сделать некоторые предположения и ввести ряд определяющих параметров. В данном случае будем полагать, что выполнены следующие предположения.

1. Имеет место естественный  прирост во времени трудовых  ресурсов:

(15)

2. Инвестиции расходуются на увеличение производственных фондов и на амортизацию, т.е.

 

где β — норма амортизации.

Тогда если l — норма инвестиций, то I = lY = К' + βК, или

(16)

Из определения фондовооруженности k вытекает, что

 

Дифференцируя это равенство по t, имеем

 

Подставив в это соотношение выражения (15) и (16), получаем уравнение относительно неизвестной функции k

(17)

где функция f(k) определена по формуле (14).

Полученное соотношение (17) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Выделим стационарное решение этого уравнения; из условия k' = 0 следует, что

(18)

т.е. k = const — постоянная величина, являющаяся корнем этого нелинейного алгебраического уравнения.

Рассмотрим конкретную задачу: для производственной функции найти интегральные кривые уравнения (17) и стационарное решение. Из (14) следует, что , и тогда уравнение (17) имеет вид

 

Стационарное решение этого уравнения следует из равенства

,

откуда получаем ненулевое частное решение уравнения (17):

 

Рис. 4

Дифференциальное уравнение (17) решаем методом разделения переменных:

 

Интегрируя это уравнение с заменой переменной = z, получаем его общее решение в окончательном виде:

(19)

Семейство интегральных кривых сходится сверху и снизу к стационарному решению (рис. 4): т.е. k kst при t . Следовательно, при неизменных входных параметрах задачи l, α и β функция фондовооруженности в данном случае устойчиво стремится к стационарному значению независимо от начальных условий. Такая стационарная точка является точкой устойчивого равновесия. 
Заключение

Математическое описание динамических моделей экономики c непрерывным временем производится с помощью дифференциальных уравнений.

Динамическими моделями экономики называют модели, описывающие экономику в развитии. Модель является динамической, если как минимум, одна ее переменная относится к периоду времени, отличному от времени, к которому отнесены другие переменные.

С помощью динамических моделей экономики решаются, в частности, задачи планирования и прогнозирования экономических процессов.

 

Список литературы

1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. - 2-е изд., испр. - М.: Дело, 2001.- 688 с.
2. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987. 160 с.