Cызықтық теңдеулер жүйесін Крамер, Гаусс әдәсімен шешу

        Қазақстан  Республикасының Білім және Ғылым  министірлігі

           Шәкәрім атындағы Семей мемлекеттік  университеті

 

 

  БӨЖ

 

Тақырыбы: «Cызықтық теңдеулер жүйесін Крамер, Гаусс әдәсімен шешу »

Топ: Т-511

Орындаған: Тасболатова Н.

Қабылдаған: Ахметкалиева А.С.

 

 

                                     2015 жыл

 

Жоспары:

Кіріспе.

Негізгі бөлім.

• Сызықтық теңдеулерді Крамер әдісімен шешу
• Сызықтық теңдеулерді Гаусс әдісімен шешу

Қорытынды бөлім.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сызықтық теңдеу – белгісіздері (айнымалы шамалары) 1-дәрежелі болып келетін және белгісіздердің көбейтінділері қатыспайтын теңдеу. Мысалы,

а1х1 + а2х2 +…+ + аnхn = b (1)

түріндегі теңдеу n белгісізі (аі≤0, і=1, 2, …, n) бар сызықтық теңдеуге жатады. Егер (1) теңдеудегі аi=0 (і=2, 3, …, n) болып, бірақ а1≤0 болса, онда ол а1х = b немесе ах = b(а1 = а) түріндегі бір белгісізі бар сызықтық теңдеуге айналады. Берілген айнымалыларға қатысты бірнеше сызықтық теңдеулер жиынтығы Сызықтық теңдеулер жүйесін құрады:

a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = b1 
a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn = b2 (2) 
………………………………. 
am1x1 + am2x2 +…+ amnxn = bm

Бұл жүйенің теңдеулеріндегі x1, x2, …, xn белгісіздерінің орнына табылған мәндерін қойғанда сол теңдеулерді тепе-теңдікке айналдыратын а1, а2, …, аn сандар жиынтығы сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдері деп аталады. Ал (2) сызықтық теңдеулер жүйесі негізгі матрица мен кеңейтілген матрицаның рангілерін салыстыру арқылы шешіледі. Егер олардың рангілері бір-бірімен дәл келсе, онда сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімді, ал кеңейтілген матрицаның рангісі негізгі матрицаның рангісінен үлкен болса, онда сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімсіз болады. Егер (2) сызықтық теңдеулер жүйесінің барлық bi мүшелері нөлге тең болса, онда сызықтық теңдеулер жүйесі біртекті деп аталады. Сызықтық теңдеулер жүйесінің бір шешімі, шексіз көп шешімі немесе мүлде шешімі болмауы да мүмкін. 1-дәрежелі теңдеуді шешу Хорезми еңбектерінде кездеседі.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу үшін математиканың әртүрлі салаларына нұсқаулығы, физика, электроника және т.б. сандық әдістері, мысалы, Гаусс жою, Крамер, итерациялық әдістері ретінде қамтиды. Гаусс әдісі, мысалы, жүйенің Толықтырылған матрицаның жұмыс істейді. Арнайы ереже бойынша қалыптасқан жүйесінің анықтауышы бар 1.2 Гаусс әдісі  
- - Крамер билігі жылы. Тікелей және кері  
Гаусс әдісін қарастырайық. Біз бұл A11 NE қабылдайды: Мысалы, біз м сызықтық теңдеулер жүйесін матрицалық толықтырылған белгісіз CN беріледі делік 0 (ол жоқ болса, онда ол бірінші жолды мен толықтырылған матрицаның кейбір басқа орындарға қайта реттеу үшін жеткілікті болып табылады). C2- (A21/А11) * C1, ... Cm- (AM1/А11) * C1, яғни мынадай: қарапайым өзгерістерді жүзеге асыру Ci- (ai1/А11) * C1, I=2, 3, ..., м. Толықтырылған матрицаның әрбір қатардың Е. (бірінші қоспағанда)  диональді элементі A11 осы жолдың бірінші элементінің жеке санына көбейтілген бірінші жолды шегереміз. Нәтижесінде, біз матрицаны алу: е. Бірінші желісі өзгеріссіз қалды, ал A11 барлық жерлерде бағанында нөл болды. Түрлендіру жүйесінің екінші, барлық Толықтырылған матрица бастап, жолдар барлық элементтерін әсер екенін ескеріңіз. AIJ Мен J=- Енді біздің міндетіміз матрица А барлық диагональды элементтері бойынша нөлдер алу болып табылады. Біз бірақ элемент альфа, біздің қарапайым өзгерістерді қайталаңыз; 22. C1- (A12/е альфа; 22) * C2, ... Cm - (е альфа; м2/е альфа; 22) * C2, яғни Ci - (е альфа; i2/е альфа; 22) * C2, I=3, ..., м. (Қазір бірінші және екінші қоспағанда) Толықтырылған матрицаның әрбір қатардың E. альфа қиғаш элементі (ағымдағы) жолына бірінші элементінің жеке санына көбейтілген, екінші жолды шегеруге; 22. Үшбұрышты нысанда - Мұндай қайта ұзақ матрица жоғарғы дейін төмендейді, өйткені дейін ұзартуға болады. Негізгі диагональ Төменде E. болады емес, барлық нөлдер: әрбір жол сызықтық теңдеулер жүйесін теңдеулер бірін білдіреді, бұл өткен м-ші теңдеу болып көрінетінін байқайсыз оңай екенін есте ұстағанымыз: гамма; MN * ХП= дельта; м. Мұнда оңай бірінші түбірін мәнін табуға болады - ХП= дельта; м/ гамма; MN. Алдыңғы м-1-ші теңдеу осы мәнін орнына қойсақ, біз оңай ХП-бірінші түбірі мәнін алу. Осылайша, жоғарғы жылдам кері Гаусс әдісі көтеріліп, біз дәйекті түрде теңдеулер жүйесінің барлық тамыры табу [5] /> 1-мысал теңдеулер жүйесін қарастырайық  
Delta  
біз алды жоғарғы үшбұрышты нысанда дейін төмендеді жүйесінің толықтырылған матрица: Бұл матрица жүйесіне балама болып табылады: біз жүйесінің тамыры таба Гаусс әдісін шошынуға. (- 5/2)=3/2 * (- 2/5)=-3/5: -5/2х3=3/2, x3=(3/2): соңғы теңдеу біз x3 түбірін табу. x3 тамыры=-3/5 тапты. Жүйенің жоғарғы (екінші) теңдеудің оны алмастырыңыз (-2x2-3x3=1): -2x2-3 (-3/5)=1, -2x2 + 9/5=1, -2x2=1-9/5, -2x2=-4/5, x2=(-4/5): (- 2)=(-4/5) * (- 1/2)=2/5. x2 тамыры=2/5 тапты. Жоғарғы (бірінші) теңдеудің оның түбірі мен x3 Подставляя (x1-x2 + x3=0): + x1-2/5 (- 5,3)=0, x1-5/5=0, x1=5/5 =тексеру 1.:  
т е т е, және т.б. D [9]...... Қорытынды: Осылайша, (әйтпесе, немесе белгісіз дәйекті жою әдісі) Гаусс болып табылады: теңдеулер жүйесінің қарапайым қайта қарай жоғарғы бар балама жүйесін әкеледі - үшбұрышты матрица. Осы іс-шаралар тікелей курс деп аталады. Нәтижесінде үшбұрышты жүйе айнымалы бастап қатарынан ауыстыру (кері) табуға болады. Тікелей әдіспен барысында үшбұрышты нысанда - Бұл жағдайда, барлық қайта жоғарғы әкеледі жүйесін, деп аталатын Толықтырылған матрица жүзеге асырылады. сызықтық жүйелер үшін  
/> Итерация итерация әдісі шамамен құндылықтарды ретін алуға мүмкіндік береді  
ол бір теңдеулер үшін жасалады, сол сияқты жүйенің нақты шешуге шелер. Анықтау үшін, сондай-ақ жазуға болады төрт белгісіз (төртінші тәртібін жүйесі) төрт теңдеулер жүйесі:  
бізге x1 қатысты бірінші теңдеуін шешу көрейік: x1=(-a12/A11) x2-A13/a11h3-A14/a11h4-A15/А11. Содан кейін жүйе ретінде жазылуы мүмкін x2 екінші теңдеуін шешу және т.б. D.. Қайда альфа; =-aik/AII, I=1, 2, 3, 4; L1 x1 жүзінде тәуелсіз Бұл сызықтық функция: К=1, 2, 3, 4, және 5 жүйесі бойынша жазу арнайы іс болып табылады. X1 (0), x2 (0), X3 (0), x4 (0): белгісіз кез келген бастапқы мәндерін (нөлдік ретті жуықтау) сұраңыз. (*) Оң жағында осы мәндерді ауыстыру, біз бірінші жуықтау дайындау бірінші жуықтау үшінші, екінші үшін, сондай-ақ пайдаланылатын, және тағы басқалар. D. жуықтау болады алу. E. жазылуы мүмкін: итерациялық процесінің жинақталуының шарттары жағдай құру  
жүзеге асыру шынайы (нақты) жүйесі x1 шешу, x2, x3, x4 дейін жуықтап жинақтылығы қамтамасыз етеді.. Егжей-тегжейін айтпай,-ның итерациялық процесс жүйесінің барлық коэффициенттер жеткілікті, дәл шешуге шелер үшін диагоналі салыстырғанда шағын деп айтуға мүмкіндік береді..

 

Қазіргі кезде алгебралық теңдеулер жүйесін әр түрлі дәрежеде қолданбайтын ғылым салалары жоқ. Сызықтық теңдеулер жүйелері экономикалық зерттеулерде, оптикалық есептерді қалыптастыруда және тәжірбие жүзінде оларды шығару айрықша маңызды. Осы салада олар кеңінен қолданылады. Бұл жерде сызықтық программалау курсының әмбебап симплекс әдісі – сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістеріне және оның ішінде айнымалылардың теріс емес мәндерін ерекше бөлектеп шешетін әдістеріне негізделгені туралы алдын ала айта кеткеніміз жөн.  
Негізгі түсініктер 
Жалпы m сызықтық теңдеулер және n белгісіздер X1,X2,…,Xn жүйесінің түрі мынадай: 
(1.1) 
Мұндағы аij және bij кез келген сандар (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n), ,біріншісі белгісіздер коэффиценттері, екіншісі теңдеулердің бос мүшелері. Коеэффицент аij дегі бірінші индикс теңдеудің реттік нөмерін, ал екінші индикс белгісіздің реттік нөмерін білдіреді. 
Мүшелердің саны n белгісіздердің көрсетілген мәнін (1.1) жүйедегі теңдеулердің әр қайсысына орнына қойғанда теңдік орындалса, осы мәндер берілген жүйенің шешімі деп аталады. 
Егер теңдеулер жүйесінің (1.1) кем дегенде бір шешімі болса, онда теңдеулер бірлеспеген деп аталады.  
Бірлескен теңдеулер жүйесінің бір ғана шешімі болса, онда жүйені анықталған, ал егер жүйенің шешімі жоқ болған жағдайда анықталмаған деп атайды. 
 
Егер теңдеулер жүйесінің бәрінің бірдей көп шешімдер жиыны болса, онда олар эквивалентті деп аталады. Алғашқы жүйелерді қарапайым түрлендіру эквивалентті жүйеге келтіреді.  
Теңдеулер жүйесіне жасалатын мынадай әрекеттер қарапайым түрлендіруге жатады: 
1. теңдеуден 0x1+0x2+…+0xn=0 нөлдік жолды сызып тастау; 
2. теңдеудің немесе аijxi мүшелердің орнын ауыстыру; 
3. жүйедегі бір теңдеудің екі жағына, келесі бір теңдіктің сәйкес жақтарына кез келген бір нақты санға көбейтіп қосу; 
4. жүйедегі басқа бір теңдеудің сызықты комбинациясы болып есептелетін теңдеуді жүйеден алып тастау 
соңғы қасиет, егер кез келген теңдеу басқа бір теңдеудің сызықты комбинациясы болса, онда оны нөлдік жолға айналдыруға болады деген жүйенің үшінші қасиетінен туып отыр. 
 
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістері 
Сызықытық теңдеулер жүйесін шешу үшін көптеген әдістер қолданылады, оның ішінде орнына қою (айнымалыларды бірніен кейін бірін қысқарту) және алгебралық қосу әдісі. Сызықтық теңдеулер жүйесінің қасиеттері, сонымен қатар жүйедегі теңдеулердің бірлескендігі туралы анықтамалар алгебра курсының мектептегі бағдарламасында қарастырлады.  
 
Сызықтық теңдеу жүйесін матрица қалпына келтіріп, әртүрлі әдістермен (мысалы, Крамер, Гасс, Жордан-Гаусс түрлендіруі және т.б.) шешу көптеген мәдебиеттерде келтірілген. Солардың ішінен қазіргі кезде тәжірбиелік есептерде жие қолданылатын кейбір әдістерін қарастырамыз. Бұл жерде сызықтық теңдеулер жүйесін кесте құрып шығару тісілдері, сызықты программалау курсының сиплекс әдісі әдісі алгоритмінің негізін құрайтындығын да ескерген жөн. 
 
СТЖ Крамер әдісімен шешу 
n айнымалысы бар біртекті емес n сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің Крамер ережесі: 
Теорема. N айнымалысы бар біртекті емес n сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімді және рангА=n болса, онда ол төмендегідей жалғыз шешімге ие болады. 
 
Мұнда ∆ = det A, ал ∆i – А матрицасындағы і-ші бағанды сәйкес бос мүшелермен алмастырғанда алынатын матрицалардың анықтауышы. 
Яғни, ............................................ 
 
Мысал, екі белгісізі бар сызықтық екі теңдеулер жүйесін шешу керек 
 
∆, ∆х, ∆у анықтауыштарды есептейміз 
Осылайша,  
 
Жауабы: (5;2) 
СТЖ Гаусс әдісімен шешу 
СТЖ шешудің Гаус әдісінің мағынасы мынада: берілген теңдеулер жүйесінде қарапайым түрлендіріулер қолдану арқылы айнымалыларды біртіндеп жою бойынша оны баспалдақты түрге келтіру. 
Содан соң кері есептеулер жүргізіп жүйенің шешімі табылады. Берілген жүйеге қолданылатын барлық түрлендірулерді жүйенің матрицаларына қолдануға болады. 
Мысалы:  
 
Шешуі, бұдан аламыз 
x1 + x2 – x3 = 0 
x2 – x3 = –1 
x3 = 1 , яғни (1; 0; 1) 
 
СТЖ кері матрица әдісімен шешу 
 
(1.2) 
теңдеулер жүйесін матрицалық түрде жазуға болады: А ∙ Х = С, 
мұнда 
, ,  
Сонда Х = А-1∙ С (1.3) 
Мысалы: 
 
А, Х, С матрицаларын жазамыз, 
, ,  
Аударылған матрица түрінде жазуға болады, 
Сонда, x1=27, x2=43, x3=0 
Сызықтық бағдарламалаудың модульдері 
Математикалық арнаулы әдістер жолымен үйретілетін экономикалық есеп шешімдерін әдіс бөлімі математикалық бағдарламалау атымен аталады. Мұнда бағдарламалау ұрықсат етілген бағдарламаны анықтау, кейбір критерийлік көз қарас арқылы тиміді саналатынын анықтау, бөлу жоспары қарастырлады. Экономикалық нақты мысалдарыд шешудің құрлымын білу қажет.

 

Процедура біртекті емес n белгісізі

бар nсызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шығарады

a11 x1+a12 x2+ . . .+a1n xn=a1n+1

a21 x1+a22 x2+ . . .+a2n xn=a2n+1

. . . .

an1 x1+an2 x2+ . . .+ann xn=ann+1

Бастапқыда нольден айрықша x1коэффициентті анықтаймыз. Сәйкес келетін теңдеуді біріншісімен алмастырамыз (егер керек болса). нольден айрықша a11 жүйесін аламыз. Осы теңдеудің барлық коэффиценттерін a11 бөліп, келесіні аламыз:

x1+b12 x2+ . . .+b1n xn=b1n+1

Осы теңдеу көмегімен берліген теңдеуден x1алып тастаймыз.

a(1)22 x2+a(1)23 x3+ . . .+a(1)2n xn=a(1)2n+1

. . . .

a(1)n2 x2+a(1)n3 x3+ . . .+a(1)nn xn=a(1)nn+1

мұнда

a(1)i j=ai j-ai 1b1 j, i,j= 2...n

Алынған жүйе n-1 теңдеуден тұрады. Сипатталған процедураны осы жүйеге қолданамыз. Операцияны керекті сан ретінде қайталаймыз, жүйені үшбұрышты түрге келтіргенше.

x1+с12 x2+ . . .+с1n xn=с1n+1

x2+ . . .+c2n xn=c2n+1

. . . .

xn=cnn+1

Енді xn,xn-1, . . ., x1. анықтау жеңіл.

Мысалы:

Шешу жолы:

Гаусс әдіс пайдаланып сызықтық теңдеу жүйесін MS Excel арқылы шешу болады.

Түзу жолы
теңделер	х1	х2	х3	х4	бос мүшесі
I	0,68	0,05	-0,11	0,08	2,15
II	0,21	-0,13	0,27	-0,8	0,44
III	-0,11	-0,84	0,28	0,06	-0,83
IV	-0,08	0,15	-0,5	-0,12	1,16
1 қадам
барлық теңдеулердің х1 коэффициенттерін бірлікке келтірледі
теңделер	х1	х2	х3	х4	бос мүшесі
I		0,073529	-0,16176	0,117647	3,161764706
II		-0,61905	1,285714	-3,80952	2,095238095
III		7,636364	-2,54545	-0,54545	7,545454545
IV		-1,875	6,25	1,5	-14,5
2 қадам
2,3,4 теңдеулердің х1 айнымалылары жойылады
теңделер	х1	х2	х3	х4	бос мүшесі
I		0,073529	-0,16176	0,117647	3,161764706
II		0,692577	-1,44748	3,927171	1,066526611
III		-7,56283	2,38369	0,663102	-4,38368984
IV		1,948529	-6,41176	-1,38235	17,66176471
3 қадам
2,3,4 теңдеулердің х2 коэффициенттерін бірлікке келтірледі
теңделер	х1	х2	х3	х4	бос мүшесі
I		0,073529	-0,16176	0,117647	3,161764706
II			-2,08999	5,670374	1,539939333
III			-0,31518	-0,08768	0,579635849
IV			-3,29057	-0,70943	9,064150943
4 қадам
3,4 теңдеулердің х2 айнымалысы жойылады
теңделер	х1	х2	х3	х4	бос мүшесі
I		0,073529	-0,16176	0,117647	3,161764706
II			-2,08999	5,670374	1,539939333
III			-1,77481	5,758053	0,960303483
IV			1,200576	6,379808	-7,52421161
5 қадам
3,4 теңдеулердің х3 коэффициенттерін бірлікке келтірледі
теңделер	х1	х2	х3	х4	бос мүшесі
I		0,073529	-0,16176	0,117647	3,161764706
II			-2,08999	5,670374	1,539939333
III				-3,24433	-0,54107544
IV				5,313955	-6,26716732
6 қадам
4 теңдеуден х3 коэффициенті жойылады
теңделер	х1	х2	х3	х4	бос мүшесі
I		0,073529	-0,16176	0,117647	3,161764706
II			-2,08999	5,670374	1,539939333
III				-3,24433	-0,54107544
IV				-8,55829	5,726091884
Кері жолы
біртіндеп айнымалыларды табылады
х4 =	5,726092	=	-0,66907
-8,55829
x3 = -0,541075 + 3,24433x4
x3 = -2,711
x2=1,5399-5,6703x3+2,0899x2
x2 = -0,334
x1 = 3,1617 - 0,1176x4 + 0,1617x3 - 0,0735x2
x1 = 2,826

Жауабы: 2,826; -0,334; -2,711; -0,669

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пайдаланылған әдебиеттер:

 

 

 

 

 

 Годунов Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу 

Беклемишев Сызықтық алгебра қосымша тараулары. М.:. Ғылым, 2003.

     J. Rice. Matrix есептеулер және бағдарламалық қамтамасыз ету. М.:. Мир, 2004