Біртекті емес Коши-Риман жүйесі

 

 

(1.2.7)

 

 

 

 

 

теңдіктері орындалса.

Егер

 

 және 

 

болса, онда орындалатыны айқын. Сондықтан әрі қарай және бойынша алынған жалпыланған туындыларды, қарапайым туындыны белгілегендей, сәйкесінше және арқылы белгілейтін боламыз. Жалпы, былай деп ұйғарайық:

 

 

 

 

 

Анықтамадан белгілі болғандай немесе бойынша алынған жалпыланған туындылары бар функциялар сызықты көпбейне құрайды, оларды біз сәйкесінше және деп белгілейтін боламыз. Төменде біз және кластары дифференциалданатын функциялардың қарапайым мағынасындағы маңызды қасиеттерін сақтайтынын көреміз.

Егер болса, онда және керісінше болатыны қатынастан бірден шығады. Сондықтан осы функциялар кластарының біреуінің қасиеттерін пысықтау жеткілікті, мысалы .

1.4-теоремаға сәйкес,егер

 

 

 

болса, онда

 

 .

 

Сонымен қатар

 

 

 

(1.2.8)

 

 

 

1.5-теорема Егер және болса, онда облысында голоморфты, яғни .

Дәлелдеуі. облысында белгіленген нүктесінің қандайда бір аймағында голоморфты болатындығын дәлелдесек жеткілікті. Мағынасын өзгертпейтіндей етіп деп белгілеп алсақ болады. Центрі нүктесінде, радиусты, жеткілікті кіші шеңберін аламыз, және осы шеңберге Грин бигармоникалық функциясын қарастырамыз.

 

 

 

мұндағы және шеңберіндегі кез келген нүктелер. нүктесін ішінде белгілесек,

 

 

 

болғанда бигармоникалық

 

 

 

теңдеуін және

 

 

 

болғанда

 

 

 

шекаралық шарттарын қанағаттандырады.

Сонымен қатар, және тұйық шеңберінде үзіліссіз.

 

 

 

функциясын қарастырайық. екендігі айқын. Егер

 

 

 

болса, онда теңдік арқылы

 

     (1.2.9)

 

теңдігін аламыз.

Бұл теңдік кез келген нүктесі үшін орынды. Егер теңдіктің екі бөлігіне де операциясын қолдансақ,

 

   (1.2.10)

 

теңдігі шығады.

Дифференциалдау мен интегралдаудың осында орындалған орналастыру реті заңдылығын дәлелдеу қиын емес.

Қарапайым есептеулер

 

 

 

екендігін көрсетеді.

Осы теңдікті пайдалану арқылы формуладан

 

(1.2.11)

 

шығады. Мұнда

 

 

 

 

 

, голоморфты болғандықтан, және формулалар бойынша теңдіктен аламыз:

 

 

 

яғни голоморфты, дәлелдеу керегі де осы.

 

1.6-теорема Егер және голоморфты функция болса, онда

 

     (1.2.12)

 

Керісінше, егер , және

 

 (1.2.13)

 

болса, онда функция

 

.

 

Дәлелдеуі

 

 

 

болғандықтан, теореманың бірінші бөлігі алдыңғы теоремадан шығады.Екінші бөлігі түсінікті.

 және  формулалардан жалпыланған туындылардың жалғыздығы бірден шығады.

1.7-теорема Егер , онда , облысының кез келген ішкі облысы.

Дәлелдеуі

1.6-теорема бойынша

 

(1.2.14)

 

мұнда

 

 

 

 болғандықтан, 1.6-теорема арқылы теңдіктің оң жақ бөлігі тиісті екендігін көреміз, дәлелдеу керегі де осы.

Бұл теоремадан функцияны бойынша (сондай ақ бойынша) жалпы мағынада дифференциялдау қасиеті локальды қасиет екендігі шығады.

 облысының әрбір нүктесінде функциясының бойынша жалпыланған туындысы бар болсын. Басқаша айтқанда, әрбір нүктесіне қандай да бір  аймағы сәйкес келеді, оның ішінде

 

 

 

 

 

Ондай болса бүкіл облыста бойынша алынған жалпыланған туындыға ие, яғни

 

 

 

 және  облысындағы және нүктелерінің бос емес қиылысуы бар аймағы болсын. ішінде

 

 

 

 

 

онда, бойынша екі бөлігінде дифферерциалдау арқылы және пен формулаларды пайдаланып, ішінде екендігін аламыз.

 облысының  тұйық ішкі облысы. облысын аймақтың ақырлы санымен қоршаймыз, оның ішінде

 

 

 

 

 

жоғарыда дәлелденгендей, ішінде нүктесіне тең функция, екендігі айқын.

Егер болса, онда

 

 

 

немесе және голоморфты облысында.Онда

 

,

 

бұл біздің тұжырымымызды дәлелдейді. ішкі облысынан тәуелді емес екендігін көруге болады.

 болсын делік. Онда 1.6-теорема бойынша

 

 

 

 

 

мұнда облысының қандайда бір ішкі облысы және де . Бұл теңдіктен, гармоникалық функция болғанда

 

 

теңдігі шығады.

Ал бұл теңдіктен, бойынша екі бөлігінде дифферерциалдау арқылы алатынымыз:

 

 

 

Екі бөлігіне де операциясын қолдансақ, 1.6-теорема бойынша шығады:

 

 

 

1.8-теорема Егер ,яғни бар болса, онда және бар болады. Басқаша айтқанда және бойынша алынған аралас жалпыланған туындылар дифференциалдау ретінен тәуелді емес.

Егер болса,онда

 

 

 

Осыдан және 1.8-теорема арқылы, біз Лапластың жалпыланған операторының анықтамасын төмендегі формуламен енгіземіз:

 

(1.2.16)

 

Жоғарғы ретті жалпыланған туындыларды да қарастыруға болады. дейміз, егер ішіндегі барлық жалпыланған туындылар

 

 

 

бар және класына тиісті болса, мұнда болуы да ескеріледі. символымен белгіленетін болады. Кейініректе класындағы функциялардың қасиеттер қатарын қарастырамыз. Егер төмендегі формула бойынша норма енгізетін болсақ,

 

 

 

 кеңістігі  Банах кеңістігі типтес болатынын  байқаймыз.

Кез келген айнымалы сан функциялар класындағы түріндегі кеңістікті ең бірінші болып С.Л.Соболев қарастырды және оларды деп белгіледі. Бұл кеңістіктердің маңызды қасиеттері С.Л.Соболев пен В.И.Кондрашевтың, С.М.Никольскийдің және де басқалардың жұмыстарында көрсетілген.

 және функциялар класын қарастырамыз. Егер

 

 

 

болса,онда

 

 

 

Дәл осылай анықтамасы шығады.

 

      (1.2.16)

 

формуласымен функциялар класының жалпы түсіндірмесі беріледі.

Мұндағы кез келген аналитикалық функциялары, ал кез келген функция, сонымен қатар

 

(1.2.7)

 

 

1.3 Комплексті интегралдау

 

Комплексті айнымалы жазықтығында ұштары нүктелерінде болатын, Жорданның түзуленетін қисығын және осы қисықта берілген

 

 

 

үзіліссіз функциясын қарастырамыз. қисығында бірінен соң бірі өсу ретімен алынатын,бекітілген нүктелерді

 

 

 

арқылы белгілейміз. Олардың қисығындағы доғасының анықталған нүктесі

 

 

 

болғандағы және

 

 

 

болғандағы қосындысы келесі түрде алынады:

 

     (1.3.1)

 

Бұл қосындыны мына

 

 

 

 

 

түрінде алып және

 

 

 

нөлге ұмтылады деп, -ді шексіздікке ұмтылдырсақ, онда қисығының түзуленетіндігінен және функциясының үзіліссіздігінен шекте алатынымыз

 

 

 

 

теңдіктері.

Бұл алынған ұйғарымдардан, функциясынан қисығы бойынша алынған интеграл деп аталатын, қосындысының шегі бар екендігі шығады. Ол мына

 

(1.3.2)

 

формуласы түрінде болады.

 

II БӨЛІМ

 

2.1 операторының қасиеттері

 

1.9-теорема ақырлы облыс болсын. Егер

 

 

 

болса, онда функциясы үшін келесі теңсіздіктер орындалады:

 

      (2.1.1)

 

   (2.1.2)

 

.

 

  және жазықтықтың кез келген нүктелері, ал және тұрақтылар, сонымен қатар мен -дан тәуелді, ал тек -дан тәуелді.

Дәлелдеуі

Дәлелдеу үшін Гельдер теңсіздігін пайдаланамыз:

Егер

 

 

 

 

 

болса,онда

 

 

 

және

 

 

 

 

 

бұл Гельдер теңсіздігі.

Гельдер теңсіздігін пайдаланып алатынымыз:

 

 

 

(2.1.3)

 

 

 

 болғандықтан,

 

 

 

 облысының диаметрі, . Сондықтан теңсіздіктен бірден шығады.Сонымен теңсіздігі дәлелденді.

Енді теңсіздігін дәлелдейміз.Сонымен

 

 

 

(2.1.3a)

 

 

 

онда Гельдер теңсіздігі арқылы

 

(2.1.4)

 

теңсіздігі шығады.

Енді мына түрдегі интегралды бағалайық:

 

 

 

(2.1.5)

 

 

 

 

 

 нүктесінің  айналасына радиусы болатын шеңберін сызамыз. Сонымен қатар болатындай радиусты концентрикалық шеңберін қарастырайық. Егер болса, онда

 

.

 

Сондықтан

 

 

 

(2.1.6)

 

 

 

Енді бағалаймыз

 

 

 

 

 

 болғандықтан,келесі  бағалауды аламыз

 

 

 

(2.1.7)

 

 

 

 теңсіздігін  Адамар  теңсіздігі деп атаймыз.

Енді теңсіздікке ораламыз. болса, онда бірінші теңсіздігі арқылы

 

 

 

шығады.Осы бойынша теңсіздіктен алынады. Теорема дәлелденді.

 және  теңсіздіктер көрсеткендей, операторы кеңістігінде толықтай дерлік сызықты үзіліссіз және де осы кеңістікті

 

 

 

кеңістігінде бейнелейтін оператор,мұндағы:

 

 

 

(2.1.8)

 

 

 

 

2.2 Функциялар класы үшін Грин формуласы. Ареоларлы туынды

 

Шекарасы қарапайым, тегіс бөлікті Жордан қисығының ақырлы санынан тұратын облысын қарастырайық. болсын. Онда мына формула орынды

 

(2.2.1)

 

Дәлелдейік

 келесі

 

 

 

 

 

шарттарын қанағаттандыратын облыстар тізбегі болсын.

 сыртында анық голоморфты болмайтын және де шексіздікте нөлге айналатын

 

 

 

функцияларды қарастырамыз. Сондықтан Коши формуласы арқылы мына теңдікті аламыз:

 

(2.2.2)

 

бекітілген мәнінде

 

 

 

болатындығы айқын. Сонымен қатар, тізбегі тізбегіне орта ретпен -ға :

 

 

 

болғанда сәйкес келеді. Сондықтан шектік ауысулар нәтижесінде арқылы алынады.

 болғанда формуладан алатын теңдігіміз

 

 

 

яғни

 

       (2.2.3)

 

Бұл арқылы егер

 

 

 

болса, онда

 

(2.2.4)

 

дәлелденетіні түсінікті.

Егер

 

 

 

болса,онда және формулалары бұдан жалпыланған, жіктелетін қарапайым Жордан қисығының ақырлы сандарынан тұратын жағдайда орындалады. Бұл тұжырымды дәлелдеу қиын емес, өйткені 1.9-теорема бойынша функция

 

 

 

Енді

 

 

 

деп, мұндағы облысын құрайтын облыс, яғни . Ондай болса, орындалатын теңдік:

 

      (2.2.5)

 

Егер де

 

 

 

болса,онда

 

      (2.2.6)

 

Біртекті емес Коши-Риман жүйесі туралы параграфтағы және жағдайында алынған осы формулаларды дәлелдейік. теңдікті дәлелдеу жеткілікті.

 облысының

 

 

 

шартын қанағаттандыратын ішкі облысы болсын. Онда ішінде

 

 

 

 голоморфты функция. Сәйкесінше,

 

 

 

(2.2.7)

 

 

 

Бірақ  Коши теоремасы мен формула бойынша

 

 

 

 

 

Сондықтан формуладан формуланы негізге ала отырып теңдігі шығады.

Егер сәйкесінше

 

 

 

немесе

 

 

 

болса, және формулалары жіктелетін қарапайым Жордан қисығының ақырлы сандарынан тұрған жағдайда орындалады.

 нүктесіне дейін созылатын, мұнда ,облыстарының үздіксіз тізбегін қарастырайық. Онда Лебег теоремасына сәйкес, кез келген облыстарының осындай тізбегі үшін және кез келген функциясы үшін

 

       (2.2.8)

 

( ішінде барлық жерде дерлік) орындалады.

Осыны негізге алып, егер

 

 

 

болса,онда формула арқылы:

 

(2.2.9)

 

( ішінде барлық жерде дерлік) шығады.

Бұл теңдіктің оң жағы -дан Помпей мағынасында алынған туынды немесе ареоларлы туынды деп аталады, әрине, егер ол бар және нүктесіне дейін созылатын, облыстарының үздіксіз тізбегін таңдаудан тәуелді емес болса.