Биологиялық процестерді математикалық модель көмегімен зерттеу

m және қоректік субстраттың концентрациясы (х₂) арасындағы байланысты көрсетейік. Моно 1942 жылы мына теңдеуді эмпириялық түрде тапты [2]:

m = m_m ·

 

Мұндағы m_m және K₁ меншікті өсудің максималь шамасы және қанығу тұрақтысы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II ЗЕРТТЕУ БӨЛІМІ

 

2.1 Моно теңдеуі - биомассаның ортадағы өзгеру динамикасының теңдеуі

 

Моно ұсынған  микроорганизмдердің өсу динамикасын  сипаттайтын моделі Мальтус заңын  толықтырды.

R_x1 = m х₁ мұндағы m = m_m ·

х₁, х₂ - өсуді сипаттайтын айнымалылар. Ол микроорганизмнің өсуі кезінде өзгеріп отырады. Егер зерттеуші биомассаны нашар қоректік ортаға қойса х₂ =0, ал бай қоректік ортаға қойса, х₂ өте үлкен болады.

Ал m_m және K₁ белгілі бір қоректік субстрат жағдайындағы организмнің кинетикалық қасиеттерін сипаттайды. Мысалы, Escherichia coli бактериясының лактоздағы көбеюі үшін К₁ = 20 мг/л, ал маннит ішіндегі өсуі үшін К = 2 мг/л. Басқа микроорганизм осы орталарда көбейсе олар үшін К₁-нің мәні басқаша болады.

Биологиялық кинетиканың негізгі шешетін мәселесі өсудің белгілі  параметрлері бойынша уақыт өтуіне байланысты өсуді сипаттайтын айнымалылардың өзгерісін есептеп шығару.

Биомасса шығысы немесе экономикалық коэффициент мынандай қатыспен есептеледі:

Y= -

Мұндағы Dх₁ - Dх₂ мөлшердегі субстратты пайдалана отырып биомассаның өскен шамасы. Минус таңбасы  –  х₁ және х₂ әр бағытта өзгеретінін көрсетеді.

Y= -

Þ  Dx₂ =- Þ  = - ( )/Y Û R_x2 =

 

Сөйтіп біз  бастапқы биомасса мен субстраттың концентрацияларына сүйене отырып  кез келген уақыт моментіндегі осы айнымалылардың шамаларын таба аламыз:

R_x1 = m_m ·

,  R_x2= - m_m ·             (6)

Төменде 30 сағат  ішінде биомассаның өсу және қоректік субстраттың азаю динамикасының графиктері Matchad 14 программалау тілінде алынған. Аталған программалау тілі туралы көптеген әдебиеттер бар [5-10]. Трассировка командасының көмегімен кез келген уақыт моментіндегі биомасса мен субстраттың концентрациясын таба аламыз.

 

 

 

 

Сурет 2 – Микроорганизмдер мен субстраттардың өзара тәуелділігінің графигі

 

2 - суреттен биомассаның уақыттың бастапқы кезінде аздап ғана өскенін, біраздан кейін бірнеше сағат бойы күрт өскенін байқаймыз. Осы уақыт аралығында барлық қоректік субстратты микроорганизмдер толық пайдаланады да, ары қарай биомассаның өсуі тоқталады.

Осы қарапайым  модельді пайдалана отырып әр түрлі  есептеу эксперименттерін жасауға  болады. Мысалы,  бастапқы биомассаның  концентрациясы бірнеше рет үлкен  болса, немесе кіші болса не болар еді?

Немесе, К₁ шамасы үлкен бактерияның концентрациясы қалай өзгерер еді?

 

 

 

 

2.2 Жылдамдық үшін аддитивтік заңы: экологиялық тізбек құру

 

Субстанцияның жасалу жылдамдығы (u⁺) деп оның жасалуына себепші болған барлық процесстердің нәтижесінде субстанцияның мөлшерінің бірлік уақытта және бірлік көлемде артуын айтады. Субстанцияның шығындалу жылдамдығы (u^-) деп оның шығындалуына себепші болған барлық процесстердің нәтижесінде субстанцияның мөлшерінің бірлік уақытта және бірлік көлемде азаюын айтады.

Уақыт өтуіне байланысты концентрацияның  өзгеруі  (жинақталу жылдамдығы) жасалу және шығындалу процестерінің  қабаттасуын айтады.

Көлем тұрақты  болған жағдайда субстанцияның жинақталу  жылдамдығы былайша анықталады:

V = u⁺ - u^-

Бұл аддитивтілік заңы деп аталады. Бұл заңды бірнеше организмдер түрінен тұратын күрделі жүйелердегі экологиялық тізбектің математикалық моделін жасау үшін қолданады. Мұндай экологиялық тізбекте бір организм кейбір субстратты қорек ретінде пайдаланса, өзі кейбір организмнің қоректік субстратына айналады.

«Бактериялар + қарапайымдар» жүйесі үшін теңдеулер  құрайық. Бұл жүйеде қарапайымдар бактериялармен қоректенеді, ал бактериялар - өсімдіктердің тамырларынан бөлінген заттармен, өсімдік шірінділерімен (гумус) және сол қарапайымдардың қалдықтарымен қоректенеді. Осы экологиялық тізбектің математикалық моделін жасау үшін (6) теңдеуді жаңа мүшелермен толықтырамыз. Бірнші енгізетін мүшеміз – қарапайымдардың биомассасының концентрациясы (х₃). R_x1 теңдеуінен бастаймыз. Бактерияның концентрациясының өзгеру жылдамдығы  аддитивтілік заңы бойынша екі жылдамдықтың қабаттасуына байланысты:

-біріншіден, бактериялар  бұрынғыша х₁ субстратпен қоректенеді;

- екіншіден,  өздері қарапайымдардың қорегі  болып табылады. Сондықтан

 

R_x1 = m_m·x₂·x₁ / (x₂ + K₁) - m₃·x₁·x₃ / (x₁ + K₂)/Y₃

 

Мұнда жаңа тұрақтылар пайда болды: m₃ – қарапайымдардың меншікті өсі жылдамдығы, K₂  - қарапайымдар бактериялармен қоректенген кездегі қанығу коэффициенті, Y₃ – қарапайымдардың экономикалық коэффициенті.

S.E.Iorgensen өз еңбегінде зоопланктондардың кинетикалық параметрлерін баяндаған. Осыларды біз қарапайымдардың өсу динамикасын сипаттау үшін пайдаланамыз. Орташа K₂ = 0,5 мг/л,  Y₃ = 0,6. Қарапайымдардың ең үлкен меншікті өсу жылдамдығын (m₃ = 0,04 ) бактерияға қарағанда 10 еседей кем аламыз. Өйткені, қарапайымдардың клеткасының массасы бактерия клеткасынан үлкен, демек (4) теңдеуге сәйкес меншікті өсу жылдамдығы да аз болуы керек.

Енді қарапайымдардың  концентрациясының өзгеру жылдамдығының теңдеуін талдайық. Егер теңдеуде тек қана бір құрылым – қарапайымдардың бактериямен қоректенуі нәтижесінде олардың өзгерісі оң шама болса, онда  қарапайымдардың биомассасы аз белгілі бір уақыт ішінде аса үлкен санмен өрнектелер еді (Мальтус заңын еске түсірейік). Ал нақты жағдайда қарапайымдар омыртқасыздардың қорегіне айналатынын білеміз. Тіпті, қарапайымдардың жаулары жоқ болса да, олардың санын табиғи өлім-жітім де шектейді.

Мысалы, биологиялық  түрдің жыл басындағы саны 10 болсын. Жыл аяғында олардың біреуі өлім-жітімге ұшырап, саны 9 болды делік. Сонда өлім-жітім жылдамдығы 1 особь/жыл болады. Ал біз 100 биологиялық түрді қарастырсақ – олардың өлім-жітім жылдамдығы 10 особь/жыл болады. Ал меншікті жылдамдығы екі жағдайда бір шамаға тең -   0,1 болады. Осы сипаттаманы (өлім-жітімнің меншікті жылдамдығы) биокинетикада кең түрде қолданады.

Сөйтіп, бір  жағынан,қарапайымдардың өсуін, екінші жағынан олардың өлім жітімге  ұшырауын ескере отырып мынандай теңдеу құраймыз:

R_x3 =  m₃·x₁·x₃ / (x₁ + K₂) - m·x₃

m - өлім-жітімнің меншікті жылдамдығы. В.А. Вавилин, В.Б.Васильевтің зерттеуінше [12] бактериялардың өлім-жітімінің меншікті жылдамдығы олардың өсуінің меншікті жылдамдығынан 10 еседей кем. Демек біздің қарапайымдар үшін m =0,004 .

Ең соңында  субстраттың концентрациясының  өзгеру жылдамдығының теңдеуін қарастырайық. Ол теңдеу 4 құрылымнан тұрады:

1. Теріс компонент  – қоректік субстраты бактериялардың пайдалануы.

2. Теріс компонент  – жауын-шашынның әсерінен топырақ  құрамындағы органикалық заттарды шайылуы.

3. Өсімдік шірінділерінің  және өсімдік тамырларының бөлген  заттары есебінен қоректік субстраттардың экологиялық жүйеге енуінің жылдамдығы  (В) – оң шама.

4. Өлім-жітімге  ұшыраған қарапайымдардың органикалық  затқаайналып топырақты байытуы.

Сөйтіп біз  мынандай теңдеуді аламыз:

R_x2 = - m_m·x₂·x₁ / (x₂ + K₁)/Y - D·x₂ + В + m·x₃

 

В шаманы әдебиеттерден аламыз [13].  В = 0,005 мг/л/сағат. Ал D шаманы жауын-шашынның әсерінен топырақ құрамындағы органикалық заттарды шайылуын сипаттайды. Оны [2] әдебиеттен аламыз: D = 0,00002 .

Төменде Matchad 14 ортасындағы программаны ұсынамыз. Осы программаны орындау барысында биологиялық процестерді сипаттайтын графиктер аламыз.

 

 

Сурет 3 – Қоректік субстраттың жүйеге ену жылдамдығын өзгерту кезіндегі экологиялық тізбектің күйлері

 

Микроорганизмдердің популяциясының математикалық модельдерінің  табиғи популяция мәліметтерімен қаншалықты сәйкес келетінін зерттедік. Осы  мақсатта Семей мемлекеттік педагогикалық  институтының биология кафедрасына қарасты зертханада жұмыстар жүргіздік. Бұл жұмыстардың негізгі мақсаты біздің математикалық модельдердің теориялық нәтижелерін микроогранизмдердің зертханалық жағдайдағы популяциясының нәтижелерімен салыстыру еді.

Біз  су ішінде «продуцент - консумент» жүйесін хлорелла және парамеция (Chlorella vulgaris – Paramecium caudatum) көмегімен құрадық және зерттедік. Продуцент ретінде хлорелла, ал консумент ретінде парамация алынды. Хлорелланы (балдырдың бір түрі) алу үшін Тамий ортасын пайдаландық, ал парамецияны өсіруге Лозин-Лозинский ортасы қолданылды. Лозин-Лозинский ортасында бактерияның қорегі ретінде хлорелланың биомассасы қолданылды [20].

Балдырдың су ортасындағы  санын анықтау үшін Горяев камерасын, ал бактерияның санын анықтау  үшін – Богоров камерасын пайдаландық. Бірінші тәулікте «продуцент - консумент»  тұйық су жүйесіне хлорелланың биомассасын енгіздік (Тамий ортасындағы есептеу бойынша хлорелла 1 миллилитрде 1,12 х 10⁵дана болды ). Осы ортаға аз мөлшерде (1 миллилитрде 11 дана бактрия болды). Осындай жұмыстың нәтижесінде біз 5 суреттегідей графиктік мәліметтер алдық. Осы графиктен хлорелла және парамеция арасындағы әсерлесу нақты байқалады. Осы әсерлесу сипаттамасы мен «субстрат-микроорганизм» жүйесі үшін біз құрған математикалық моделдеу нәтижелері арасындағы ұқсастықты байқауға болады. 

 

Сурет 5 – Хлорелла және парамецияның әсерлесуін сипаттайтын график

 

2.3 Микроорганизмдердің  популяциясының компьютерлік моделі

 

Күрделі қоғамдық және табиғат құбылыстарын жан-жақты  зерттеуде қазіргі уақытта компьютерлік модельдер батыл түрде қолданыла бастады. Компьютерлік модельдер ішінде аса маңызды модельдің біріне –иммитациялық модельдер жатады. Иммитациялық модель деп құбылысты немесе нысанды зерттеу, жоспарлау және болжам жасау үшін математикалық аппарат пен компьютерлік техника көмегімен  оның жасанды моделін құру болып табылады.

Бұл жағдайда эксперимент  жүйенің өзімен жасалмайды, осы жүйені жуықтап сипаттайтын математикалық  модельмен жасалады. Зерттеліп отырған  нақты жүйенің моделімен эксперимент былайша жасалады: жүйені сипаттайтын параметрлерді есептеу кезінде, немесе жүйенің күйін сипаттайтын параметрлерді жасанды түрде өзгерту барысында жасалады.

Сонымен, нақты  жүйенің иммитациялық моделі математикалық  модельдің арнайы формасы болып табылады және онда:

- зерттеліп отырған нысан оның құрылымына сәйкес жеке компоненттерге бөлінеді;

- иммитациялық  модельдің өзгеру заңдылықтары  ретінде нақты эксперименттер  кезінде алынған мәліметтерді  пайдалануға болады;

- жүйенің уақытқа  тәуелді өзгерісі берілген динамикалық параметрлерге сәйкес сипатталады.

Иммитациялық  модельдеу көмегімен әр түрлі  сапалық түрдегі және есептеу  эксперименттерін жүргізе аламыз. Біз  бактериялардың және клеткалардың көбеюін  сипаттайтын иммитациялық модель жасап  оны биологиялық процестерді зерттеуге қолдандық. Иммитациялық модель программалау тілі – Delphi тілінде жасалған.

 

 

Сурет 4 – «Клеткалық автомат» көмегімен микроорганизмдердің популяциясын зерттеу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ҚОРЫТЫНДЫ

 

Бүгінгі күні ғылыми зерттеулердің қарыштап алға жылжуының негізгі факторы  модельдеу әдісінің зерттеу жұмыстарында кең түрде қолданыс табуы арқасында ғылымның әр түрлі саласында көптеген жаңалықтар ашылуда.

Математикалық модельдеу әдісі биологиялық процестерді зерттеуде жан-жақты қолданыс тауыпотыр. Биологиялық процестер, атап айтқанда организмдегі метоболизм, клеткалардың күйі, олардың бөлінуі, биологиялық түрлердің популяциясы, түрлер арасындағы өзара байланыс  және т.б. құбылыстар модельдеудің негізгі зерттеу нысандары болып отыр. Сондықтан, осындай күрделі жүйелердің даму заңдылықтарын зерттеуде математикалық модельдер және осы модель негізінде жұмыс істейтін компьютерлік модельдер табысты қолданылуда. 

Біздің «Биологиялық процестерді математикалық модель көмегімен зерттеу» атты ғылыми жұмысымызда әр түрлі биологиялық процестердің күрделі құрылымын сипаттайтын және осы процестердің даму бағытын анықтайтын математикалық және компьютерлік модельдер жасалып, олар микроорганизмдердің даму динамикасының заңдылықтарын зерттеуде және экологиялық тізбектің болу шартын анықтауда қолданылды. Осы ғылыми жобаны іске асыру барысында төмендегідей нәтижелерге қол жетті: