Биномиальное распределение. Закон Пуассона

Уральский социально-экономический  институт (филиал)

Образовательного учреждения профсоюзов

высшего профессионального  образования

«АКАДЕМИЯ ТРУДА И СОЦИАЛЬНЫХ ОТНОШЕНИЙ»

 

 

 

 

Реферат 
«Биномиальное распределение. Закон Пуассона»

 

 

 

 

 

 

                                                      

                                                                 

 

 

                                                                 Студент: Погорелова Полина

                                            Группа: ЭД-201

 

 

 

 

Челябинск – 2012

Содержание

 

1. Биномиальное распределение………………………………………2
2. Закон Пуассона………………………………………………………4
3. Примеры из практики……………………………………………….5

Заключение…………………………………………………………….........9

Список литературы………………………………………………………....10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2-

1. Биномиальное распределение

 

Биномиальное распределение  в теории вероятностей — распределение  количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p.

Пусть, конечная последовательность независимых случайных величин  с распределением Бернулли, то есть    

Построим случайную величину Y:

                     

Тогда Y, число единиц (успехов) в последовательности  , имеет биномиальное распределение с n степенями свободы и вероятностью «успеха» p. Пишем:  . Её функция плотности вероятности задаётся формулой:

где   — биномиальный коэффициент.

 

Функция распределения биномиального  распределения может быть записана в виде суммы:

,

где обозначает наибольшее целое, не превосходящее число y, или в виде неполной бета-функции: 

 

 

-3-

Производящая функция  моментов биномиального распределения  имеет вид:

откуда

,

,

дисперсия случайной величины

,

математическое ожидание частоты появления события А при n независимых испытаниях

М(m) = np,

а среднее квадратическое отклонение частоты

Свойства биномиального  распределения

Пусть  и . Тогда .

Пусть  и . Тогда .

Связь с другими распределениями:

Если n = 1, то, очевидно, получаем распределение Бернулли.

Если n большое, то в силу центральной предельной теоремы  , где N(np,npq) — нормальное распределение с математическим ожиданием np и дисперсией npq.

Если n большое, а λ — фиксированное число, то  , где P(λ) — распределение Пуассона с параметром λ.

 

 

-4-

2. Закон Пуассона

Второй предел биноминального распределения, представляющий практический интерес, относится к случаю, когда  при неограниченном увеличении числа  испытаний математическое ожидание остается постоянным: 

  Если при  , , то перейдя к противоположному событию, мы получим тот же случай. Полагая m << n, получим при 

Следовательно,

Полученное распределение  вероятностей случайной величины называется законом Пуассона.

Распределение Пуассона —  вероятностное распределение дискретного  типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события  происходят с некоторой фиксированной  средней интенсивностью и независимо друг от друга.

   Распределение Пуассона  играет ключевую роль в теории  массового обслуживания.

Распределение Пуассона имеет  максимум вблизи  

(знак [x] обозначает целую  часть числа x, меньшую или равную x).

Числовые характеристики распределения:

Математическое ожидание  

Дисперсия 

Распределение Пуассона играет важную роль для описания "редких" событий в физике, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. – там, где в

-5-

течение определенного времени  может  происходить случайное число каких-то событий ( радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастных случаев и т.п.).

 

    3. Примеры из практики

1) Монета подброшена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба».

Р е ш е н и е. Вероятность появления «герба» в каждом  бросании монеты р = 1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q = 1 – ½ = ½.

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения Х таковы: х₁ = 2, х₂ = 1, х₃ = 0. Найдём вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

 

 

.

Напишем искомый закон распределения:

X	2	1	0
p	0.25	0.5	0.25

   К о н т р о л ь: 0,25 + 0,5 + 0,25 = 1.

2) Фирма занимается продажей автомобилей. Менеджер по продажам вел  учёт проданных автомобилей по дням в течение месяца и в конце подвёл итог:

Дни	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Продано шт.	0	4	2	0	1	0	1	2	4	2	5	3	0	1	2
Дни	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Продано, шт.	2	3	4	2	2	4	3	5	2	0	4	3	5	1	4

-6-

Составить ряд распределения  случайной величины X – качества проданных за день автомобилей в течение месяца; найти числовые характеристики случайной величины M(x); D(x); σ(x); построить функцию распределения дискретной случайной величины F(x).

Р е ш е н и е. 

Составим ряд распределения  случайной величины X

Количество машин в  день	Число дней	Вероятность продажи машин  в день
X	n	P(X)
0	5	5/30
1	4	4/30
2	8	8/30
3	4	4/30
4	6	6/30
5	3	3/30
Всего	30	I

Условие нормировки

 

Математическое ожидание M(X) =

M(X) = 0 • 5/30 + 1 • 4/30 + 2 • 8/30 + 3 • 4/30 + 4 • 6/30 + 5 • 3/30 = 2,37

Среднее количество машин, проданных  в день, 2,37 (≈ 2 машины в день)

Дисперсия      D(X) = M (X²) – (M(X))² ; M (X²) =

M (X²) = 0² • 5/30 + 1² • 4/30 + 2² • 8/30 + 3² • 4/30 + 4² • 6/30 + 5² • 3/30 = 243/30

M² (X) = 2.37², D(X) = 8.1 – (2.37)² = 2,24831 ≈ 2,25

Среднее квадратическое отклонение σ (X) =

 

-7-

σ (X) = ≈ 1,58

Отклонение от среднего значения составляет (≈ ± 1 машина в день)

Функция распределения дискретной случайной величины X

При х ≤ F(X) = P(X < 0) = 0;

При 0 < х ≤ 1 F(X) = P (X < 1) = P (X=0) = 5/30

При 1 < х ≤ 2 F(X) = P (X < 2) = P (X=0) + P (X=1) = 5/30 + 4/30 = 9/30

При 2 < х ≤ 3 F(X) = P (X < 3) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) = 5/30 + 4/30 + 8/30 = 17/30

При 3 < х ≤ 4 F(X) = P (X < 4) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) + P (X=3)  = 5/30 + 4/30 + 8/30 + 4/30 = 21/30

При 4 < х ≤ 5 F(X) = P (X < 5) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) + P (X=3) + P (X=4)  = 5/30 + 4/30 + 8/30 + 4/30 + 6/30 = 27/30

При x > 5 F(X) = P (X = 0) + P (X=1) + P (X=2) + P (X=3) + P (X=4)  + P (X=5) = 5/30 + 4/30 + 8/30 + 4/30 + 6/30 + 3/30 = 30/30 = 1

                                           0, если x ∈ (-∞;0]

                                           5/30, если x ∈ (0;1]

                                           9/30, если x ∈ (1;2]

               F (x) =                17/30, если x ∈ (2;3]

                                          21/30, если x ∈ (3;4]

                                           27/30, если x ∈ (4;5]

                                           1, если x ∈ (5;+ ∞)

   

    График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

F(x) является неубывающей функцией: большему значению аргумента соответствует не меньшее значение функции.

Изменяется в пределах от нуля до единицы, является ограниченной функцией сверху и снизу.

Принимает только положительные  значения, величина каждого скачка  равна значению вероятности в  соответствующей точке, сумма всех вероятностей равна единице.

-8-

График функции распределения

       F(X)

 

          1

     22/30

          

      15/30          

       7/30

 

                0 1           2           3            4           5                             x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-9-

  Заключение

В заключение хочется отметить то, что распределение Пуассона является достаточно распространенным и важным распределением, имеющим применение как в теории вероятностей и ее приложениях, так и в математической статистике.

Многие задачи практики сводятся в конечном счете к распределению Пуассона. Его особое свойство, заключающееся в равенстве математического ожидания и дисперсии, часто применяют на практике для решения вопроса, распределена случайная величина по закону Пуассона или нет.

Также важен тот факт, что закон Пуассона позволяет  находить вероятности события в  повторных независимых испытаниях при большом количестве повторов опыта и малой единичной вероятности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-10-

  Список литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей математическая статистика. Изд. №6  – М. «Высшая школа», 1997.     
2. Карасёв А.И., Аксютина  З.М. Курс высшей математики для экономических вузов. – М. «Высшая школа», 1982.
3. Малыхин В.И. Математика в экономике. – М. «ИНФРА –М», 2000.
4. Иванова В.Н. Практикум по теории вероятностей. – Челябинск. УрСЭИ АТиСО, 2008.