Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

           

Пример 3.1           Решить дифференциальное уравнение  2xydx + (x2 + 3y2)dy = 0.           Решение. Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку соответствующие частные  производные равны:         Запишем следующую систему  дифференциальных уравнений для  определения функции u(x,y):         Интегрируя первое уравнение  по x, получаем:         Подставляем выражение для u(x,y) во второе уравнение:         Интегрируя последнее  уравнение, находим неизвестную  функцию φ(y):          так что общее решение  данного уравнения в полных дифференциалах имеет вид:   , где C − произвольная постоянная.

Пример 3.2

Найти решение уравнения  (6x2 − y +3)dx + (3y2 − x − 2)dy = 0.            Решение. Проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах:         Как видно, имеем уравнение в полных дифференциалах. Запишем систему уравнений для определения функции u(x,y):         проинтегрируем первое уравнение  по переменной x, полагая, что y является константой. В результате получаем:         Здесь мы ввели непрерывную  дифференцируемую функцию φ(y) вместо постоянной C.   Подставим функцию u(x,y) во второе уравнение:         + φ'(y)= Получаем уравнение для  производной φ'(y):         Интегрируя, находим функцию φ(y):         Таким образом, функция u(x,y) определяется формулой         Следовательно, общее решение  уравнения описывается следующим  неявным выражением:         где C − произвольное действительное число.

Пример 3. 3

Решить дифференциальное уравнение  e ydx + (2y + xe y)dy = 0.            Решение. Сначала проверим, что данное уравнение будет являться уравнением в полных дифференциалах:         Видно, что . Найдем далее функцию u(x, y) из системы уравнений:         Следовательно,         Теперь продифференцируем  выражение по переменной y и приравняем к. В результате получим выражение для производной φ'(y):         Таким образом мы находим φ(y) и всю функцию u(x,y):   . Следовательно, общее решение  дифференциального уравнения записывается в виде:    .

Пример 3.4

Решить уравнение  (2xy − sin x)dx + (x2 - cos y)dy = 0.            Решение. Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку         Найдем функцию u(x,y) из системы двух уравнений:         Интегрируя первое уравнение  по переменной x, получаем:         Подставляя во второе уравнение, имеем:         Следовательно,         Тогда функция u(x,y) определятся выражением         а общее решение дифференциального  уравнения описывается неявной  формулой

Пример 3.5

Решить уравнение )dx - 2ydy=0.          Решение. Сначала выясним, имеем ли мы дело с уравнением в полных дифференциалах:         Как видно, . Следовательно, это уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию u(x,y), удовлетворяющую системе уравнений:         Интегрируем первое уравнение:         где φ(y) − некоторая неизвестная функция, зависящая от y. Мы определим ее позже.     Подставим результат во второе уравнение системы:         Интегрируя последнее  выражение, находим функцию φ(y):         где C − константа.     Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения описывается уравнением:

Пример 3.6

Решить дифференциальное уравнение с начальным условием  y(1) = 1.            Решение. Проверим, что уравнение  является уравнением в полных дифференциалах.         Частные производные будут  равны         Следовательно, мы имеем  дело с уравнением в полных дифференциалах. Поэтому, далее запишем следующую  систему уравнений для определения  функции u(x,y):         В данном случае удобнее  проинтегрировать второе уравнение  по переменной y, u(x,y)= Теперь продифференцируем  это выражение по переменной x:         Итак, общее решение дифференциального  уравнения в неявном виде определятся  выражением: .   Найдем теперь частное  решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1. Подставляя начальные значения, определяем постоянную C:         Следовательно, частное решение  данной задачи Коши имеет вид:

         Пример 3.7 Найти общий интеграл уравнения

(ye^xy+2xy)dx+(xe^xy+x²-2y)dy=0.

         Решение. 

Проверим равенство частных  производных, предположив  , где , ;

Имеем уравнение в полных дифференциалах.

Ищем функцию u (х, у)= (при интегрировании второго слагаемого предполагаем х = const ):

 
=  
=  
+ ,

, где  .

 Нашли общий интеграл дифференциального уравнения .

4 Интегрирующий множитель

Конечно, не всякое дифференциальное уравнение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 является уравнением в полных дифференциалах. Теоретически всегда можно привести его к уравнению такого типа умножением на некоторую не равную нулю функцию , называемую интегрирующим множителем. Но не всегда легко найти такую функцию.

Если  интегрирующий множитель уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, уравнение является уравнением в полных дифференциалах, т.е. интегрирующий множитель есть решение уравнения .                    

  Найти функцию из уравнения в общем случае довольно сложно. В частных случаях соотношение

 значительно упрощается.

Теорема 4.1 Если уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 имеет общий интеграл

U(x, y)=C, где U есть интеграл уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 в рассматриваемой области, имеющий непрерывные частные производные второго порядка, то это уравнение имеет интегрирующий множитель.

Доказательство.

Действительно, так как  U(x,y) есть интеграл уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, то dU=0 в силу этого уравнения, т.е.                                              

где dy определяется уравнением P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, так как dx и dy удовлетворяют системе уравнений:

                                              (4.1)

 

Это однородная линейная система  имеет ненулевое решение ( ибо dx, как дифференциал независимой переменной, произволен). Поэтому справедливо тождество

                                                       (4.2)

или

                                           (4.3)

Поэтому

 

т. е. левая часть уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 становится полным дифференциалом после умножения на функцию , определяемую равенством (4.3). Следовательно, есть интегрирующий множитель уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.                                             

Случай 1. Если уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x, т.е. , то имеем

.

Случай 2. Если уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0допускает интегрирующий множитель как функцию одной переменной y, т.е. , то

.

Случай 3. Если уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 имеет интегрирующий множитель вида , где - известная функция, то

.

Пример 4.1. Решить уравнение .

Решение.

Очевидно, что данное уравнение  не является уравнением в полных дифференциалах. Попытаемся найти интегрирующий  множитель  . Поскольку выражение

не зависит от y, то уравнение для определения примет вид

.

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными  одним из решением которого, является функция . Умножая обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель , получаем уравнение в полных дифференциалах:

.

Интегрируя его, находим  общее решение:

.

Пример 4.2 Решить уравнение (xy² − 2y³)dx + (3 − 2xy²)dy = 0.  
         Решение.

Данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, поскольку      

 

Попробуем определить его  общее решение, используя интегрирующий  множитель. Вычислим разность      

 

Заметим, что выражение       

 

зависит только от y. Поэтому, интегрирующий множитель µ также будет функцией одной переменной y. Мы можем найти его из уравнения      

 

Интегрируя, находим:      

 

Выбирая в качестве интегрирующего множителя и затем умножая на него исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение в полных дифференциалах:      

 

В самом деле, теперь видно, что      

 

Отметим, что при умножении  на интегрирующий множитель мы потеряли решение  y = 0. Это можно доказать прямой подстановкой решения  y = 0 в исходное дифференциальное уравнение.  
 
Теперь найдем функцию u из системы уравнений:      

 

Из первого уравнения  следует, что      

 

Из второго уравнения  находим:      

 

Таким образом, заданное дифференциальное уравнение имеет следующие решения:      

 

где C − произвольная постоянная.

Пример 4.3 Решить уравнение .

Решение.

Очевидно, найти интегрирующий  множитель, зависящий только от одной  переменной нельзя. Будем искать интегрирующий  множитель в виде . Пусть , тогда уравнение для нахождения примет вид

,

интегрируя, которое находим

.

Умножая обе части исходного  уравнения на данный интегрирующий  множитель, получаем уравнение в  полных дифференциалах:

.

Интегрируя полученное уравнение, находим общее решение:

.

Теорема 4.2 Если - интегрирующий множитель уравнения вида (1), а функция такая, что .

Тогда , где - произвольная дифференцируемая функция, также будет интегрирующим множителем того же уравнения.

Это свойство интегрирующего множителя позволяет во многих случаях  находить его методом разбиения данного уравнения на две части.

Доказательство.

Пусть - общие интегралы и интегрирующие множители соответственно для уравнений

.

Тогда, в силу приведенной  выше теоремы, функции

являются интегрирующими множителями для первого и  второго уравнения соответственно. Если удастся подобрать функции  φ₁ и φ₂ так, чтобы выполнялось равенство

,

то интегрирующим множителем для уравнения 

,

очевидно, является функция

.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматлит, 1962.
2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М.: Дрофа, 2003.
3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.
4. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Издательство Московского Университета, 1984.