Алгоритм решения двойного интеграла

Алгоритм решения двойного интеграла:

Систематизируем информацию: в каком  порядке нужно решать рассматриваемую  задачу?

1) Необходимо выполнить чертёж. Без чертежа задачу не решить. Точнее, решать-то она решается, но  это будет похоже на игру  в шахматы вслепую. На чертеже  следует изобразить область , которая представляет собой плоскую фигуру. Чаще всего фигура незамысловата и ограничена какими-нибудь прямыми, параболами, гиперболами и т.д. Грамотную и быструю технику построения чертежей можно освоить на уроках Графики и основные свойства элементарных функций, Геометрические преобразования графиков. Итак, этап первый – выполнить чертёж.

2) Расставить пределы интегрирования  и перейти к повторным интегралам.

3) Взять внутренний интеграл

4) Взять внешний интеграл и  получить ответ (число).

Пример 3

Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования

 

Теперь нужно изменить порядок  обхода области, для этого перейдем к обратным функциям (выразим «иксы» через «игреки»):

 

В общем-то, можно записать ответ:

 

Пример 9

С помощью двойного интеграла, вычислить  площадь плоской фигуры , ограниченной линиями ,    

 

Выберем следующий порядок  обхода области:

Как я уже отмечал, начинающим лучше  вычислять повторные интегралы  по отдельности, этого же метода буду придерживаться и я:

1) Сначала с помощью формулы  Ньютона-Лейбница разбираемся с  внутренним интегралом:

2) Результат, полученный на первом  шаге, подставляем во внешний  интеграл:

Пример 11

С помощью двойного интеграла, вычислить  площадь плоской фигуры , ограниченной линиями ,

   

 

 

 

существует старая математическая присказка: кто с корнями дружен, тому зачёт не нужен.

 

Поэтому из недоразумения, которое  дано в условии, выразим обратные функции:

 Обратные функции в данном  примере обладают тем преимуществом,  что задают сразу всю параболу  целиком без всяких там листьев,  желудей веток и корней.

Согласно второму способу, обход  области будет следующим:

                            

 

Как говорится, ощутите разницу.

1) Расправляемся с внутренним  интегралом:

 

Результат подставляем во внешний  интеграл:

2)

 

 

Вычислить объем тела, ограниченного  параболоидом  z = 2 − x2 − y2 и конической поверхностью

z=x2+y2 .

Решение:

 Исследуем сначала пересечение  двух заданных поверхностей. Приравнивая  координаты z, получаем уравнение 2−x2−y=x2+y2   Пусть

x2 + y2 = t2. Тогда

 

2−t2=t или t2+t−2=0t1

2=2−1

3=−2

1

В контексте данной задачи смысл  имеет лишь корень t = 1, то есть

z=x2+y2=1  или x2+y2=1

Итак, обе поверхности пересекаются при z = 1, и сечение представляет собой круг (рисунок 1.1)

 

 

 

 

 

Вычислить объем тела, ограниченного  поверхностями 

y2=x,x=3

z=x

z >0