Басқару жүйелерінің теориясы.

 кезінде   (24)-дегі -ны  -ға алмастырып, жиіліктік беріліс функциясын аламыз

  (25)

(25)формуладағы бөлшектің алымы мен бөлімін, соңғысына түйіндес комплекс санға көбейтіп оны нақты және жорамал бөлікке ажыратсақ, мынаны шығарып аламыз:

  (26)

(26)формулаға буындардың  уақыт тұрақтыларының мәндері  мен тұйықталмаған жүйенің К  күшейту коэффициентінің мәнін  қойып нақты және жорамал бөліктерінің  мәнін аламыз:

;

;

.

мен -ның әртүрлі үшін табылған мәндерін 2-кестеге енгізілген. 2-кестедегі деректер бойынша, АФС салынады . Жүйе орнықты, өйткені координаты нүкте қисықтың сол жағында қалады.

	0	0,005	0,016	0,8	0,195	0,5
	20	16,2	4,4	-1,46	-0,5	-0,35	0
	0	-8,6	-10,4	-1,5	0	0,03	0

 

4-мысал Найквист критерийінің  жәрдемімен астатикалық АРЖ орнықтылығын  тексеру керек .

Тұйықталмаған жүйенің беріліс  функциясы:

  (27)

мұндағы (27)-нені жиіліктік беріліс функциясы

.

(28)-ін түрлендіріп, нақты  және жорамал бөлігін аламыз:

.

Әртүрлі жиіліктер үшін мен -ның мәндері 3 кестеде көрсетілген.

3-кесте

	0	1	5	10	15,8	20
	-4,4	-4,23	-2,17	-0,876	-0,35	-0,22	0
		-19,2	-1,8	-0,24	0	0,03	0

3-кестеден және ондағы  берілген мәндері бойынша салынған АФС (11-сурет) арқылы жүйенің орнықты екенін көреміз. Қисық координаты нүктенің оң жағынана өтеді. Кризистік _кр =15.8с^-1 жиілікте комплексті жиіліктік функцияның векторының модулі 1-ден кіші (35) болады. Интегралдаушы буынның бар болуы жүйені астатикалық етеді. Мұндай жүйелер үшін АФС годографының кезінде шексіздікке ұмтылуы тән.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Есептеу бөлімі.

Өтпелі процесті анықтау. Өтпелі процесті тұрғызу.

       Сапаны бағалау өтпелі процес графигі бойынша жүргізілетін және өз кезегінде әр түрлі әдістермен тұрғызылатын тікелей әдісті қарастырамыз.

       Практикалық қолайлы және есептеу аспектісінде қызықты типтик сипаттама арқылы өтпелі процес графигін тұрғызу әдісі ұсынылады.

       Түзу сызықты жүйелер үшін бастапқы шарт және секірмелі кей жағдайында, кірісінде өтпелі үдіс орнату үшін амплитуда-фазалық сипаттама теңдеуінен нақты және жорамал бөлігін айыру арқылы алынуы мүмкін болатын, нақты жиіліктік сипаттама қолданылады. Нақты бөлігін нөлге теңестіріп, нақты жиіліктік сипаттама теңдеуін аламыз. Нақты жиіліктік сипаттамалары типтік жиіліктік сипаттамалармен аппроксимацияланады. Бұл трапеция тәрізді сипаттамалар, бұлар үшін өтпелі процес түрі белгілі және экстрополяциялануы мүмкін.

      Мысал, түзу сызықты жүйенің P(ω) нақты жиіліктік сипаттамасы берілген немесе орнатылған. Бұл сипаттаманы трапециямен аппроксимациялаймыз, олардың әр қайсысы үшін өтпелі процес құрылады. Жалпы өтпелі функция барлық трапециялар өтпелі процестерінің қосындысы болады.

 

Беріліс функциясы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P₁=(-1.1050);        P₂=(-0.0085);       P₃=(-0.0004);      P₄=(-0.0004)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рауc-Гурвиц критерийі бойынша жүйенің орнықтылығын зерттеу.

 

Кейде алгебралық деп аталынатын Рау-Гурвиц критерийінің мәні бойынша анықталады:

G(P)=0.00000007P²+0.00078P³+0.072P²+P+40

Сипаттамалық теңдеудің  түбірлері жорамал осының сол  жағында жатып және жүйе орнықты  болуы үшін Гурвицтің барлық диагональ  минорлары сипаттамалық теңдеудің  оң коэффициенттері кезінде оң болуы  мүмкін қажетті әрі жеткілікті. Сипаттамалық теңдеуден Гурвицтің бас анықтаушысы  мынаған тең:

a₀=0.00000007;                 a₂=0.072;                   a₄=40.

a₁=0.00078;                       a₃=1;

 

=

 

 

 

= (0,072*1*40+0,00078*0,072*0+40*0*0,00000007) -

- (0*1*0,00000007+0*0,072*0,072+40*0,00078*40) -

- (0,00000007*1*4+0*0,072*0+40*0*0)-(0*1*0+40*0*40+0*0,072*0,00000007) = 2,88-1,248-0,00000028=1,632>0

 

= =(0,00078*0,072*1+0,00000007*0,00078*0+1*40*0) –

• (0*0,072*0+0,00078*40*0,00078+0,00000007*1*1)=0,00005616-0,00002441= =0,00003175>0

 

 

Демек алгебралық (Раус-Гурвиц) критериі бойынша жүйе орнықты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Михайлов критерийі  бойынша жүйенің орнықтылығын зерттеу.

Михайлов орнықтылығының критерийі былай өрнектеледі: егер n-ші ретті АРЖ орнықты болса, онда сипаттамалық вектор ω 0-ден ∞-ке дейін  өзгергенде n π\2 бұрышқа бұрылуы  тиіс,немесе ω 0-ден ∞-ке дейін өзгергенде Михайлов годографы оң нақты жарты  осьтен басталып комплексті жазықтықтың n квадраттар санын сағат тілінің бағытына қарсы кезектеп өтуі тиіс.

G(P)→G(jω)       j=√-1;      j²=-1;      j³=-j;      j⁴=1

G(jω)=a₀(jω)⁴+a₁(jω)³+a₂(jω)²+a₃jω+a₄= a₀ω⁴-a₁jω³-a₂ω²+a₃jω+a₄

 

Нақтылық: Re= a₀ω⁴-a₂ω²+a₄

Жорамал:    Im=-a₁ω³+a₃ω

ω =0         Re= 0.00000007*0⁴-0.072*0²+40=40

                 Im=(-0.00078)*0³+1*0=0

ω =1         Re= 0.00000007*1⁴-0.072*1²+40=39.928

                 Im=(-0.00078)*1³+1*1=0.999

ω =5         Re= 0.00000007*5⁴-0.072*5²+40=38.2

                 Im=(-0.00078)*5³+1*5=4.9

ω =10      Re= 0.00000007*10⁴-0.072*10²+40=33

                 Im=(-0.00078)*10³+1*10=9.22

ω =15      Re= 0.00000007*15⁴-0.072*15²+40=23.8

                 Im=(-0.00078)*15³+1*15=12.37

ω =20       Re= 0.00000007*20⁴-0.072*20²+40=11.21

                 Im=(-0.00078)*20³+1*20=13.26

ω =30      Re= 0.00000007*30⁴-0.072*30²+40=(-24.74)

                 Im=(-0.00078)*30³+1*30=8.94

ω =35       Re= 0.00000007*35⁴-0.072*35²+40=(-48.1)

                 Im=(-0.00078)*35³+1*35=1.56

ω =50       Re= 0.00000007*50⁴-0.072*50²+40=(-139)

                 Im=(-0.00078)*50³+1*50=(-47.5)

ω =1014   Re= 0.00000007*1014⁴-0.072*1014²+40=13

                 Im=(-0.00078)*1014³+1*1014=(-812207)

ω =1500   Re= 0.00000007*1500⁴-0.072*1500²+40=192415

                 Im=(-0.00078)*1500³+1*1500=(-2631000)

ω	0	1	5	10	15	20	30	35	50	1014	1500
Re	40	39,93	38,2	33	23,8	11,21	-24,74	-48,1	-139	13	192415
Im	0	0,999	4,9	9,22	12,37	13,26	8,94	1,56	-47,5	-812207	-2631000

 

      ω 0-ден ∞-ке дейін өзгергенде Михайлов годографы оң нақты жарты осьтен басталып комплексті жазықтықты сағат тілінің бағытына қарсы кезектеп өтті. Демек жүйе орнықты.

Жүйенің орнықтылығын Найквист критериі бойынша зерттеу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω=0

 

 

 

ω=0.2

 

 

 

ω=0.4

 

 

 

ω=0.7

 

 

 

ω=0.9

 

 

 

ω=1

 

 

 

ω=5

 

 

 

ω=84.2

 

 

 

ω=200

 

 

 

ω	0	0,2	0,4	0,7	0,9	1	5	84,2	200
Re	0	-2,88	-2,877	-2,873	-2,869	-2,86	-2,56	-0,08	-0,0146
Im	0	-200	-62,4	-57	-44,26	-39,8	-7,1	0	0,00471

 

 

         Найквист критериі бойынша зерттегенде  годографы тұйықталған болып  шықты. Демек жүйе орнықты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қорытынды.

Практикалық қолайлы және есептеу  аспектісінде қызықты типтік сипаттама арқылы өтпелі процесс графигін тұрғызу әдісін қолдандым. Түзу сызықты жүйенің P(ω) нақты жиіліктік сипаттамасы берілген немесе орнатылған. Бұл сипаттаманы трапециямен аппроксимацияладым, олардың әр қайсысы үшін өтпелі процесс құрдым. Жалпы өтпелі функция барлық трапециялар өтпелі процестерінің қосындысы болып табылады.

Гурвиц анықтауыштарын құрып, оның орнықты екендігін анықтадым.

Михайлов критерийінде жүйе орнықты  болу үшін ω бұрыштық жиілік 0-ден -ке дейін өзгергендегісін есептеп, годографтың комплекстік жазықтықта орналасқанын графикте салып, жүйенің орнықтылығын анықтадым.

Найквист критериймен ажыратылған  жүйенің  амплитудалық фазалық жиіліктік сипаттамасы бойынша тұйықталған жүйенің орнықтылығын анықтадым.

Автоматты басқыру жүйесінің  орнықтылығын зерттеу нәтижесінде  барлық критерий бойынша жүйеенің орнықтылығы  анықталды. Демек есептеулер бір-біріне сәйкес және жүйе орнықты деп есептеуге  толық негіз бар.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қолданылған әдебиеттер.

 

1. А.Бекбаев, Д.Сүлеев, Б.Хисаров  Сызықты және бейсызықты жүйелердің автоматты реттеу теориясы Оқулық  Алматы, 2012
2. А.Бекбаев, Д.Сүлеев, Б.Хисаров  Сызықты және бейсызықты жүйелердің автоматты реттеу теориясы Оқулық  Алматы: КазККА баспасы, 2007 212-бет.
3. А.Бекбаев, Д.Сүлеев, Б.Хисаров Автоматты реттеу теориясы Оқулық  Алматы, 2005.