Системы счисления. Описание понятия. Позиционные и непозиционные системы. Принципы перевода из одной системы счисления в другую

Произведем обратное преобразование. Чтобы преобразовать число в десятичном виде к двоичному, нам нужно будет делить все время на два и смотреть на остаток от деления. Возьмем число 33.

• 33 : 2 = 16 остаток 1;
• 16 : 2 = 8 остаток 0;
• 8 : 2 = 4 остаток 0;
• 4 : 2 = 2 остаток 0;
• 2 : 2 = 1 остаток 0;
• 1 : 2 = 0 остаток 1;

Получили 100001₂.

Возьмем число 55. Посмотрим  что получиться.

• 55 : 2 = 27 остаток 1;
• 27 : 2 = 13 остаток 1;
• 13 : 2 = 6 остаток 1;
• 6 : 2 = 3 остаток 0;
• 3 : 2 = 1 остаток 1;
• 1 : 2 = 0 остаток 1.

Получили 110111₂.

Приведу еще примеры  со сложением, вычитанием, умножением и делением.

Сложение:

1001

1010

----

10011

Вычитание:

1110

0101

----

1001

Умножение:

  1110

   0101

   ----

   1110

  0000

1110

0000

-------

1000110

Деление:

1000110|101

101   -----

----   0001110

  111

  101

  ---

   101

   101

   ---

     00

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений

Компьютерам очень удобно оперировать двоичными числами, но люди не привыкли работать с большим  количеством цифр. Например, чтобы  представить в двоичном виде число 1234 потребуется больше 10 двоичных цифр (10011010010). Поэтому были придуманы восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений. Они удобны как и десятичные числа тем, что для представления числа требуется меньшее количество разрядов. А по сравнению с десятичными числами, перевод в двоичное представление очень простой. Это как будто мы двоичное число разбили на группы по три или четыре разряда и каждой двоичной комбинации придумали значок. Вот таблица для восьмеричных цифр:

Двоичная комбинация	Значок
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

 

 

А вот таблица для  шестнадцатеричных цифр:

Двоичная комбинация	Значок
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Перевод произвести очень  просто, посмотрим на примере числа 10011010010.

Разбиваем его на группы по три цифры: 010 011 010 010. И по таблице  переводим: 2322₈.

Чтобы перевести число  в шестнадцатеричное представление  разбиваем двоичное число на группы по четыре цифры: 0100 1101 0010. И по таблице переводим: 4D2₁₆. С помощью калькулятора Windows мы можем убедиться, что все проделано верно.

В программистских кругах шестнадцатеричные числа принято  предварять значком 0x (например, 0x4D2), такое  написание пошло от языка программирования C, либо значком $ (например, $4D2), такая нотация произошла от языка программирования Pascal. Иногда в литературе используют буквы "h" и "b" для обозначения соответственно шестнадцатеричных и двоичных чисел (например, FFh или 1011b).

 

 

 

Перевод из одной системы счисления в  другую.

Общий принцип 1: чтобы перевести число в некоторую систему счисления с основанием M ( цифрами 0, ..., M-1 ), иначе говоря, в M-ичную СС, нужно представить его в виде:

C = a_n * Mⁿ + a_n-1 * M^n-1 + ... + a₁ * M + a₀.

 
a_1..n - цифры числа, из соответствующего диапазона. a_n - первая цифра, a₀ - последняя. 
Сравните эту запись с представлением числа, например, в десятичной системе.

Из  системы с большим основанием - в систему с меньшим

Очевидно, чтобы найти такое представление, можно 
 
      1. разделить число нацело на M, остаток - a₀. 
      2. взять частное и проделать с ним шаг 1, остаток будет a₁... 
И так, пока частное не равно 0. 
 
     Искомое число будет записано в новой системе счисления полученными цифрами.

Общий принцип 2: Если основание одной системы - степень другого, например, 2 и 16, то перевод можно делать на основании таблицы: 
2 -> 16 : собираем с конца числа четверки ( 16 = 2 ⁴ ) чисел, каждая четверка - одна из цифр в 16-ричной с-ме. Пример ниже. 
 
16 -> 2 - наоборот. Создаем четверки по таблице

Из  меньшего основания - к большему:

Просто вычисляем C = a_n * Mⁿ + a_n-1 * M^n-1 + ... + a₁ * M + a₀, где М - старое основание. Вычисления, естественно, идут по в новой системе счисления.

Например: из 2 - в 10: 100101 = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹+1=32+4+1=37.

Вообще говоря, можно  сделать много хитрых трюков - в  примерах реализаций они есть :)

Много вопросов задается относительно дробей и отрицательных  чисел.

Отpицательные - модуль числа  не меняется при переходе к другой СС, посему: запомнить знак, пpименить стандаpтный метод - поставить знак. Дальше буду говорить уже о положительных числах

• Десятичные дроби - пеpеношу запятую, запоминая, на какую степень основания умножил.

Например, перенос в  троичном числе запятой с 4-го места от конца - то же, что и умножить его на 3⁴

121201,2112 * 3⁴ = 1212012112.

После стандаpтной пpоцедуpы с положительными числами поделить на этот множитель получившуюся дробь. Получится периобическая дробь - значит судьба Ваша такая. Помните: в 3-чной системе 1/3 = 0.1, а в десятичной - 0,(3). Неблагодарное это дело - с десятичными дробями оперировать.

• Обыкновенные - пpавильность дpоби сохpаняется относительно пpеобpазований, значит то же - стандаpт по числителю и знаменателю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы.

 

• Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы.- М.: Энергоатомиздат, 1985

 

• Майоров С.А., Кириллов В.В., Приблуда А.А., Введение в микроЭВМ.- Л.: Машиностроение, 1988
• Фомин С.В., Системы счисления.- М.: Наука, 1987
• Калабеков Б. А., Цифровые устройства и микропроцессорные системы.- М: Горячая линия – Телеком, 2000
• Ворощук А. Н., Основы ЦВМ и программирования.- М.: Наука, 1978
• Шауман А. М., Основы машинной арифметики.- Л.: Издательство Ленинградского университета, 1979
• Шафрин Ю., Основы компьютерной технологии.- М.: АБФ, 1997