Расчет и исследование нерекурсивных и рекурсивных цифровых фильтров

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО

Пензенская  государственная технологическая  академия

Факультет «ИПЭИС»

Кафедра «Информационные  технологии и системы»

Дисциплина  «Цифровая обработка сигналов»

 

 

Контрольная работа №4

«Расчет и исследование нерекурсивных и рекурсивных цифровых фильтров»

 

 

 

Выполнила: студент 4 курса,  гр.07И2 Мишиев А.И.

Проверил: доцент кафедры «ИТС» Кирин Ю.П.

 

 

 

Пенза 2011

1 Задание на работу

Вар.	Ф-тр	N				Окно
6	ФНЧ1	6	2400	200		Квадратное
	ФНЧ2	6	2400	300		Квадратное

2 Ход  работы

1. Расчет  и исследование нерекурсивных  фильтров

Перечень  решаемых задач:

1. расчет и исследование НЧ-фильтров;
2. расчет и исследование полосового фильтра.

1. Расчет  и исследование НЧ-фильтров.

ФНЧ1

1. коэффициенты фильтра рассчитываются по формулам :

Таким образом, коэффициент a_k (k=0,...,N) зависит от отношения частоты среза к частоте дискретизации. Поэтому при расчетах удобно использовать относительную частоту среза:

;

.

2. Рассчитаем коэффициенты фильтра в соответствии с вариантом задания:

, ;

, .

3. уравнение фильтра:

4. аналитическое выражение частотной характеристики фильтра  :

С помощью программы  Matlab вычислить коэффициенты нерекурсивного фильтра нижних частот. Сопоставить (в табличной форме) расчетные и вычисленные с помощью программы Matlab коэффициенты фильтра, построить графики импульсного отклика, АЧХ и ФЧХ фильтра.

Рисунок 1 – расчет коэффициентов  фильтра с помощью Matlab

 

 

Рисунок 2 – амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра

 

 

Рисунок 3 – импульсная характеристика фильтра

 

Рисунок 4 –  структурная схема фильтра

Приведем в  таблице коэффициенты фильтра расчетные  и вычисленные в Matlab.

Таблица 1 - Коэффициенты фильтра

Коэффициенты  фильтра	Расчётные	Вычисленные
а0	0.1667	0.1666
а1	0.1593	0.1592
а2	0.1377	0.1378
а3	0.106	0.1061
а4	0.069	0.0689
а5	0.032	0.0318
а6	0.00019	0

 

ФНЧ2:

1. коэффициенты фильтра :

а₀=0,25, а₁=0,225, а₂=0,159, а₃=0,075, а₄=0, а₅=-0,045, а₆=-0,053

2. уравнение фильтра:

Аналитическое выражение частотной характеристики фильтра :

С помощью программы  Matlab вычислить коэффициенты нерекурсивного фильтра нижних частот. Сопоставить (в табличной форме) расчетные и вычисленные с помощью программы Matlab коэффициенты фильтра, построить графики импульсного отклика, АЧХ и ФЧХ фильтра.

Рисунок 5 – расчет коэффициентов  фильтра с помощью Matlab

 

 

 

 

Рисунок 6 –  амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра

 

Рисунок 7 –  импульсная характеристика фильтра

 

Рисунок 8 –  структурная схема фильтра

Приведем в  таблице коэффициенты фильтра расчетные  и вычисленные в Matlab.

Таблица 2 - Коэффициенты фильтра

Коэффициенты  фильтра	Расчётные	Вычисленные в Matlab
а0	0,25	0,25
а1	0,225	0,225
а2	0,159	0,159
а3	0,075	0,075
а4	0	0
а5	-0,045	-0,045
а6	-0,053	-0,053

По результатам  расчета ФНЧ₁ и ФНЧ₂ рассчитать (без компьютера) коэффициенты полосового фильтра с частотами среза f _c1 и f_c2 (f _c1 <  f_c2).

За основу берется  ФНЧ с частотой среза w_в, которая соответствует верхней частоте среза искомого ПФ. Из спектра этого ФНЧ вычитается спектр другого ФНЧ с меньшей (нижней) частотой среза w_н. В результате останется спектр полосового фильтра с зоной прозрачности (пропускания) между w_н  и w_в. Искомые коэффициенты ПФ рассчитываются по формуле:

а_к,ПФ = а_{к,ФНЧ(в)} - а_{к,ФНЧ(н)}

Таким образом, коэффициенты полосового фильтра:

С помощью программы  Matlab произвести расчет коэффициентов этого же полосового цифрового фильтра и построить графики его импульсной и частотной характеристик. Сопоставить (в табличной форме) расчетные и вычисленные с помощью программы Matlab коэффициенты полосового фильтра

 

Рисунок 9 –  расчет коэффициентов фильтра с  помощью Matlab

 

 

 

Рисунок 10 –  амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра

 

 

Рисунок 11 –  импульсная характеристика фильтра

Рисунок 12 –  структурная схема фильтра

Приведем в  таблице коэффициенты фильтра расчетные и вычисленные в Matlab.

Таблица 3 - Коэффициенты фильтра

Коэффициенты  фильтра	расчётные	Вычисленные в Matlab
а0	0,83	0,83
а1	0,066	0,066
а2	0,021	0,021
а3	-0,031	-0,031
а4	-0,069	-0,069
а5	-0,077	-0,077
а6	-0,053	-0,053

Синтезировать входной сигнал в виде аддитивной смеси гармонического сигнала с шумом. Частота гармонического сигнала , амплитуда A=1, длительность . Шум – с нормальным распределением, нулевым средним значением и единичным стандартным отклонением. Произвести фильтрацию смеси сигнала с шумом, рассчитанным полосовым фильтром. Построить графики фильтруемой смеси и результата фильтрации.

Рисунок 13 – Simulink-модель фильтрации смеси сигнала с шумом

Рисунок 14 – отфильтрованный сигнал

Сгенерировать и профильтровать (рассчитанным полосовым  фильтром) сигнал в виде последовательности знакоположительных прямоугольных  импульсов амплитудой A=1, длительностью  , следующих с частотой . Относительная длительность импульсов . Построить графики фильтруемой смеси и результата фильтрации.

Рисунок 15 – Simulink-модель фильтрации сигнала с шумом

 

Рисунок 16 –  отфильтрованный сигнал

 

Ответы  на контрольные вопросы

1. Что называется нерекурсивным цифровым фильтром?

Нерукурсивный цифровой фильтра - это фильтр, который  не имеет обратной связи.

2. Что является отличительной особенностью НЦФ?

Отличительной особенностью НЦФ является зависимость  выходного сигнала y(n) только от входных сигналов в настоящий момент времени x(n) и предыдущие моменты x(n-k).

3. Что характеризует порядок НЦФ?

Его характеризует  число задержек.

4. Чем обусловлена задержка выходного сигнала в НЦФ?

Тем, что выходной сигнал в момент времени n можно вычислить  только тогда, когда станут известными “будущие” входные отсчеты. Это  означает необходимость задержки  выходного сигнала фильтра относительно входного.

5. Почему НЦФ называют  фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ - или FIR- фильтром)?

Последовательность  отсчетов, соответствующих весовым  коэффициентам фильтра a_k , конечна, поэтому НЦФ имеет конечный импульсный отклик и называется фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром или FIR (finite impulse response filtre) фильтром).

6. Что называется относительной частотой среза?

Относительная частота среза - это отношение  верхней частоты (частоты среза) спектра аналогового сигнала  к частота дискретизации сигнала, выраженное в радианах.

7.   Что  называется всечастотным фильтром?

Всечастотный  фильтр (ВФ) – это фильтр, который  пропускает без ослабления все частоты.

 

2. Расчет и исследование нерекурсивных фильтров

Перечень  решаемых задач:

1. расчет и исследование НЧ-фильтров Баттерворта 2-го порядка;
2. расчет и исследование полосового фильтра Баттерворта 2-го порядка.

Порядок выполнения работы:

1. Произвести расчет ФНЧ1, ФНЧ2 и полосового рекурсивных фильтров по тем же исходным данным, что и для нерекурсивных фильтров (т.е. частоты среза и частоту дискретизации брать из таблицы 1), с теми лишь отличиями, что:
1. для всех вариантов принимать порядок фильтра N=2;
2. тип фильтра выбирать во всех случаях одинаковый – Баттерворта;
3. ручной расчет коэффициентов фильтра и не производить;
4. синтез фильтров производить только с помощью программы Matlab, по результатам синтеза записать аналитические выражения для импульсной и комплексной частотной характеристик всех синтезированных фильтров;

Рисунок 17 –  расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

 

Рисунок 18 –  амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра

 

 

Рисунок 19 –  импульсная характеристика фильтра

 

Рисунок 20 –  структурная схема фильтра

Аналитическое выражение для импульсной характеристики:

Аналитическое выражение для комплексной частотной  характеристики:

 

 

 

Рисунок 21 –  расчет коэффициентов фильтра с  помощью Matlab

 

Рисунок 22 –  амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра

 

 

Рисунок 23 –  импульсная характеристика фильтра

Рисунок 24 –  структурная схема фильтра

Аналитическое выражение для импульсной характеристики:

Аналитическое выражение для комплексной частотной  характеристики:

 

 

Рисунок 25 –  расчет коэффициентов фильтра с  помощью Matlab

 

 

Рисунок 26 –  амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра

 

 

Рисунок 26 –  импульсная характеристика фильтра

Рисунок 27 – структурная схема фильтра

Аналитическое выражение для импульсной характеристики:

Аналитическое выражение для комплексной частотной  характеристики: