Основы логики и логические основы компьютера

Реферат

Основы логики и логические основы компьютера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание:

1. Формы мышления
2. Алгебра высказываний
3. Логические выражения и таблицы истинности
4. Логические функции
5. Логические законы и правила преобразования логических выражений
6. Логические основы устройства компьютера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Формы мышления

 

Логика – это наука о формах и способах мышления.

 

Основные формы  мышления:

1. Понятие
2. Высказывание
3. Умозаключение

 

Понятие – это форма  мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта

                                                                                                                                                                                                                                                 

 

 

            Содержание - совокупность существенных признаков объекта

            Объем - Совокупность предметов, на которую  распространяется понятие

            Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание является повествовательным предложением.

 

 

 

 

            Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких   (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

            Посылки – только истинные суждения.

 

2. Алгебра высказываний

Алгебра высказываний служит для определения истинности или  ложности составных высказываний. Высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «истина» (1) и «ложь» (0).

Логические операции:

Логическое умножение (конъюнкция)

Логическое сложение (дизъюнкция)

Логическое отрицание (инверсия)

 

Конъюнкция - объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и». Составное высказывание истинно только тогда, когда истины оба простых высказывания.

Соответствует союзу 

Обозначение &, ^

В языках программирования and    Таблица истинности

А	В	F=A&B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

 

Дизъюнкция - объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «или». Составное высказывание истинно только тогда, когда истинно хотя бы одно из двух простых высказывания.

Соответствует союзу ИЛИ                                 Таблица истинности

Обозначение V     

A	B	F=AvB
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

В языках программирования or

 

 

 

 

 

Инверсия - Присоединение частицы «не» к высказыванию.

Инверсия делает истинное высказывание ложным и, наоборот.

Соответствует союзу НЕ

Обозначение Ā 

В языках программирования not

 

Таблица истинности

A	F= Ā
0	1
1	0

 

3. Логические выражения и таблицы истинности

 

Логическое выражение  – формула, в которую входят логические переменные и знаки логических операций.

Пример:

Для логического выражения  можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных  комбинациях исходных значений простых  высказываний.

 

Построение таблицы истинности

1. Определить количество строк в таблице по формуле 2ⁿ, где n – количество логических переменных.
2. Определить количество столбцов таблицы: количество логических переменных + количество логических операций.
3. Построить таблицу истинности, обозначить столбцы, внести всевозможные наборы исходных данных логических переменных.
4. Заполнить таблицу истинности, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности.

 

Построение таблицы истинности для

1. Количество строк таблицы 2² = 4, т.к. в формуле две переменные A и B.
2. Количество столбцов: 2 переменные + 5 логических операций = 7.

 

A	B	AvB	Ā
0	0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Логические функции

Любое составное высказывание можно рассматривать как логическую функцию F(X₁, X₂, …, X_n), где X₁, X₂, …, X_n – простые высказывания. Функция и аргументы могут принимать только два различных значения: «истина» (1) и «ложь» (0).

 

Логическое следование (импликация) - Импликация образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…».

Импликация ложна только тогда, когда из истинного первого  высказывания(предпосылки)  следует  ложный вывод (второе высказывание).

Соответствует обороту  Если…, то…

Обозначение А→В 

В языках программирования if … then …

Таблица истинности

A	B	F14=A→B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

 

Логическое равенство (эквивалентность) - Эквивалентность образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «… тогда и только тогда, когда …».

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности  истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Соответствует обороту  тогда  и только тогда, когда …

Обозначение А≡В, А~B

Таблица истинности

A	B	F10
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

 

 

 

5. Логические законы и правила преобразования логических выражений

 

Закон тождества.

Всякое высказывание тождественно самому себе А=А

Закон непротиворечия.

Высказывание не может  быть одновременно истинным и ложным

Закон исключенного третьего

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано.

Закон двойного отрицания.

Если дважды отрицать некоторое  высказывание, то получим исходное высказывание.

 

Логические законы и правила  преобразования логических выражений

Законы де Моргана

 

Закон коммутативности.

A & B = B & A

A v B = B v A

 

Закон ассоциативности.

(A & B) & C = A & (B & C)

(A v B) v C = A v (B v C)

 

Закон дистрибутивности.

(A & B) v (A & C) = A & (B v C)

(A v B) & (A v C) = A v (B & C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Логические основы устройства компьютера

       Базовые логические элементы

Логический элемент «И» 

 

Логический элемент «ИЛИ»  

 

Логический элемент «НЕ»       

 

 

Логические основы устройства компьютера

Сумматор двоичных чисел

Слагаемые		Перенос	Сумма
A	B	P	S
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

Полусумматор.

A, B – слагаемые

P – перенос

S – сумма

P = A & B

 

 

 

 

 

 

 

Логические основы устройства компьютера

Сумматор двоичных чисел

Полусумматор

Таблица истинности логической функции    

A	B	AvB	A&B	(A&B)
0	0	0	0	1	0
0	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1
1	1	1	1	0	0

 

 

Триггер

Триггер позволяет запоминать, хранить, считывать информацию.

Триггер хранит 1 бит информации.

 

 

 

 

Логические основы устройства компьютера

Сумматор двоичных чисел

Полный одноразрядный  сумматор

Имеет  три входа: A, B – слагаемые, P₀ – перенос из младшего разряда;

два выхода: S – сумму, P – перенос.

 

Слагаемые		Перенос из младшего разряда	Перенос	Сумма
A	B	P0	P	S
0	0	0	0	0
0	1	0	0	1
1	0	0	0	1
1	1	0	1	0
0	0	1	0	1
0	1	1	1	0
1	0	1	1	0
1	1	1	1	1