Многоальтернативная оптимизация

Многоальтернативная оптимизация

 

Выполнил студент группы ВМ 111 Филатов А.А.

Оптимизация

 

• Оптимизация – это методика выделения одного или нескольких наиболее предпочтительных решений из большого или бесконечного числа допустимых решений на основе использования математических моделей. Наиболее часто встречается однокритериальная (скалярная) оптимизация – единственный критерий описывает предпочтения. Такое свойство задачи встречается далеко не всегда: имеется большое число задач, в которых имеется несколько критериев, значения каждого из которых желательно увеличить (или уменьшить) при неизменных других.

Задача оптимизации

 

В общем случае основной задачей оптимизации технологического процесса (ТП) является приведение некоторой оптимизируемой функции

F(X), к ее максимуму.

 

 

F(X)      max

 

•  На практике большинство возникающих задач оптимизации ТП являются многокритериальными: функционирование многопараметрической системы должно удовлетворять одновременно нескольким критериям эффективности, от которых зависит выходные параметры изделия (т.е. в конечном итоге – качество продукции):

 

 

 где F(X) – некоторый критерий качества (целевой функционал производства или производимого изделия), X – вектор независимых переменных в некоторой допустимой области D (т.е. множество допустимых значений переменных), xi – неизвестные, являющимися управляемыми объектами (входными объектами) в задаче оптимизации ТП, S – пространство оптимизации (например – множество вещественных чисел Rn).

Оптимальность по Парето

 

• Оптимальность по Парето — такое состояние системы, при котором значение каждого частного показателя, характеризующего систему, не может быть улучшено без ухудшения других.

 

• Таким образом, по словам самого Парето: «Всякое изменение, которое никому не приносит убытков, а некоторым людям приносит пользу (по их собственной оценке), является улучшением». Значит, признаётся право на все изменения, которые не приносят никому дополнительного вреда.

Множество состояний системы, оптимальных по Парето, называют «множеством Парето», «множеством альтернатив, оптимальных в смысле Парето», либо «множеством Парето-оптимальных альтернатив».

Ситуация, когда достигнута эффективность по Парето — это ситуация, когда все выгоды от обмена исчерпаны.

Задача многокритериальной оптимизации является задачей поиска Парето-оптимального множества решений, однако решение «в лоб» повлечет существенные затраты времени, а в ряде случаев представляется невозможным. Часто при производстве выбирается решение с менее эффективными параметрами, но обеспечивающее наилучшую устойчивость к отклонениям, возникающих в ходе производства. Упрощение построения Парето-оптимального решения для конкретного технологического процесса (ТП) является одной из важных задач, для сокращения затрат времени до разумных пределов. Существует несколько методов, сводящих к системе, зависящей от одного критерия.

  
1. Метод свертки критериев.  

 

• В данном случае многокритериальная задача сводится к однокритериальной с критерием, равным взвешенной сумме исходных. Существуют две основные разновидности метода: линейный – линейное объединение в сумму исходных критериев:

 

 

 

 

Мультиплексный метод, состоит в том, что применяется произведение критериев, при этом каждый частный критерий возведен в определенную степень, в зависимости от силы влияния на f(X). Таким образом, для использования при оптимизации данного метода, необходимо указать весовые коэффициенты каждого критерия. Помимо этого возможна ситуация, когда «улучшение» одного параметра ведет к «ухудшению» другого, а в полученном по методу свертки решении будут присутствовать некоторые частные критерии с недопустимым (неприемлемым) значением.

 

- некоторые весовые коэффициенты, соответствующие каждому из критериев.

2. Минимаксные методы (методы  максиминной свертки).

 

• В данном методе оптимизации минимизируются наибольшие значения:

     

 где P может быть:

1)абсолютной величиной отклонения от заданных выходных параметров (yl) ТП:

2)максимумом каждого из критериев:                                где l=1..n.

 Недостатком данного метода это невозможность взаимно сконвертировать размерности измеряемых единиц друг в друга (например, экономические и физические величины)

3. Метод главного критерия.

 

В зависимости от целей ТП, в качестве целевой функции выбирается единственный критерий fm(x) а остальным параметрам fl(x), учитываются путем введения дополнительных ограничений:

 

 

Главная проблема при применении метода состоит в необходимости правильного выбора главного критерия и задания «допусков» на оставшиеся критерии. При наличии нескольких главных критериев, в случае их взаимного противоречия (конфликтующие критерии) применение данного метода затруднено. Помимо этого, выставление излишне жестких требований к параметрам, может привести к пустому множеству D. Наоборот, при излишне слабых ограничениях, можно получить решение, не удовлетворяющее по некоторым критериям fl(x). Этого можно избежать в случае поочередного назначения каждого из параметров fl(x) главным и дальнейшего сравнения полученных результатов.

• Рассмотренные методы позволяют существенно упростить поиск Парето-оптимального решения. Применение методов свертки существенно ограничивает необходимость изначального присвоения весовых параметров для каждой из критериальных функций. Метод главного критерия с точки зрения возможности применения на новом производстве (или на производстве нового вида изделия на имеющемся оборудовании) наиболее предпочтителен, так как для его использования требуется задавать не точные значения влияющих на качество производимых изделий параметров, а лишь допуски на них.