Cкрытая передача информации в аудиосигналах с использованием вейвлет-преобразования

Преобразование Фурье  используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть, обратимый переход от временно́го пространства (time domain) в частотное пространство (frequency domain).

В основе преобразования Фурье (ПФ) лежит чрезвычайно простая, но исключительно плодотворная идея – почти любую периодическую  функцию можно представить суммой отдельных гармонических составляющих (синусоид и косинусоид с различными амплитудами A, периодами Т и, следовательно, частотами ω) [1].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вейвлет - преобразования

Вейвлетом называется некоторая  функция (закономерность), хорошо локализованная (т.е. сосредоточенная в небольшой  окрестности некоторой точки и резко убывающая до нуля по мере удаления от нее) как во временной, так и в частотной области. Отметим, что вейвлет – это не какая-то конкретная математическая зависимость или "формула", а любой объект или процесс, обладающий указанными особенностями. Существуют вейвлеты, имеющие самые различные свойства и подходящие для решения самых разных задач.

Рис.3. Вейвлеты Хаара и Гаусса.

К вейвлету можно применить  две операции:  сдвиг, т.е. перемещение  области его локализации во времени, и масштабирование (растяжение или сжатие), т.е. перемещение области его локализации по частоте.

Рис.4. Сдвиг и масштабирование вейвлета.

 

Использование этих операций, с учетом свойства локальности вейвлета в частотно-временной области, позволяет  анализировать данные на различных масштабах и точно определять положение их характерных особенностей во времени [2].

Непрерывное вейвлет-преобразование описывается функцией

где τ представляет трансляцию, s представляет масштаб и ψ(t) —  вейвлет-родитель (mother wavelet).

Вейвлет-коэффициенты определяются интегральным преобразованием сигнала. Полученные вейвлет-спектрограммы принципиально отличаются от обычных спектров Фурье тем, что дают четкую привязку спектра различных особенностей сигналов ко времени.                                                       

Вейвлеты — это семейство функций, которые локальны во времени и по частоте («маленькие»), и в которых все функции получаются из одной посредством её сдвигов и растяжений по оси времени (так что они «идут друг за другом»).

Первое дискретное вейвлет преобразование было придумано венгерским математиком Альфредом Хааром. Для входного сигнала, представленного массивом 2n чисел, вейвлет-преобразование Хаара просто группирует элементы по 2 и образует от них суммы и разности. Группировка сумм проводится рекурсивно (в случае чётной длины последовательности сумм) для образования следующего уровня разложения. В итоге получается 2n−1 разность и 1 общая сумма.

Это простое ДВП иллюстрирует общие полезные свойства вейвлетов. Во-первых, преобразование (один уровень) можно выполнить за O(n) операций. Во-вторых, оно не только раскладывает сигнал на некоторое подобие частотных полос (путём анализа его в различных масштабах), но и представляет временну́ю область, то есть моменты возникновения тех или иных частот в сигнале. Вместе эти свойства характеризуют быстрое вейвлет-преобразование — альтернативу обычному быстрому преобразованию Фурье.

 

Самый распространенный набор дискретных вейвлет-преобразований был сформулирован бельгийским  математиком Ингрид Добеши (Ingrid Daubechies) в 1988 году. Он основан на использовании рекуррентных соотношений для вычисления всё более точных выборок неявно заданной функции материнского вейвлета с удвоением разрешения при переходе к следующему уровню (масштабу). В своей основополагающей работе Добеши выводит семейство вейвлетов, первый из которых является вейвлетом Хаара. С тех пор интерес к этой области быстро возрос, что привело к созданию многочисленных потомков исходного семейства вейвлетов Добеши [3].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Встраивание ЦВЗ  в аудиосигнал, исследование влияния сжатия

 

Имеется аудиозипись, в которую будем встраивать ЦВЗ. Аудиосигнал состоит из N отсчетов, где значение N не меньше 88200 (соответственно 1 секунда для стереоаудиосигнала, дискретизированного на частоте 44,1 кГц).

Мы вычисляем значении некоторой величины по формуле (6), приведенной ранее, от немодифицированного сигнала. Далее мы в этот же аудиосигнал встраиваем ЦВЗ, путем небольшого изменения амплитуд некоторых гармоник сигнала. И вычисляем значение той же самой величины, но уже от модифицированной аудиозаписи.

Сравнивая полученные величины статистик, мы выбираем пороговое значение между графиками плотностей распределения, по которому решаем, встроен ли ЦВЗ в аудиосигнал или нет. В зависимости от того, насколько сильно смещены эти графики, мы с большей или меньшей точностью можем определить наличие ЦВЗ.  

 

Итак, в результате выполнения программы мы получили график  плотности распределения функций со встроенным ЦВЗ (z) и без него (zz). Встраивание выполнялось в значения исходных отсчетов.

Рис.5. Гистограмма распределений статистики со встроенным водяным знаком (жирная линия) и без него. По горизонтали отложены значения статистик. Встраивание выполнялось в значения исходных коэффициентов.

 

Исходя из полученных результатов, мы с достаточно большой точностью можем определить наличие или отсутствие ЦВЗ, так как графики плотности распределения функций со встроенным ЦВЗ (z) и без него (zz)  существенно смещены друг от друга.

 

Проводим аналогичный анализ, но теперь выполняем встраивание ЦВЗ в коэффициенты преобразования Фурье, что позволяет сделать встраивание менее заметным на слух.

Рис.6. Гистограмма распределений статистики со встроенным водяным знаком (жирная линия) и без него. По горизонтали отложены значения статистик. Встраивание выполнялось в значения коэффициентов Фурье преобразования.

 

Мы видим, что в этом случае графики плотности распределения  функций с ЦВЗ и без него  перекрываются, что проводит к вероятной ошибке при определении наличия или отсутствия ЦВЗ.

Подсчитав значения ошибок первого и второго рода, получили:

ошибка 1го рода составила - 0.0118

ошибка 2го рода составила - 0.0537

 

Для того чтобы избавится  от данного недостатка, вместо Фурье преобразования используем вейвлет - преобразования различных типов.

 

1. Название вейвлета - Добеши пятого порядка. Графики плотности распределения функций с ЦВЗ и без него  уже не перекрываются, и мы можем с большей точностью по сравнению с Фурье преобразованием говорить о том, встроен ли ЦВЗ в аудиосигнал.

 

Рис.7. Гистограмма распределений статистики со встроенным водяным знаком (жирная линия) и без него. По горизонтали отложены значения статистик. Встраивание выполнялось в значения коэффициентов вейвлет – преобразования (вейвлет Добеши пятого порядка).

 

2. Используем для сравнения еще один вейвлет  Добеши третьего порядка.

Графики плотности распределения  функций после данного преобразования практически не отличаются от предыдущего  вейвлет - преобразования. Следовательно, точность определения наличия ЦВЗ в обоих случаях одинаковая.

 

Рис.8. Гистограмма распределений статистики со встроенным водяным знаком (жирная линия) и без него. По горизонтали отложены значения статистик. Встраивание выполнялось в значения коэффициентов вейвлет – преобразования (вейвлет Добеши третьего порядка).

 

 

3) Возьмем другой тип  вейвлета – симлет пятого порядка. Графики плотности распределения функций после данного вейвлет - преобразования также практически не отличаются от двух предыдущих вейвлет - преобразований.

Рис.9.  Гистограмма распределений статистики со встроенным водяным знаком (жирная линия) и без него. По горизонтали отложены значения статистик. Встраивание выполнялось в значения коэффициентов вейвлет – преобразования (симлет пятого порядка).

 

Подсчитав значения ошибок первого и второго рода, получили:

ошибка 1го рода составила - 0.000016

ошибка 2го рода составила - 0.003

Итак, получилось, что  вероятность ошибки в данном случае значительно меньше, чем при использовании  преобразования Фурье.

 

4. Приведем еще один тип вейвлета - вейвлет Хаара.

При использовании данного  вейвлета мы получили максимально смещенные  друг от друга графики плотности  распределения функций, следовательно мы имеем наибольшую точность определения наличия ЦВЗ в аудиосигнале.

 

Рис.10. Гистограмма распределений статистики со встроенным водяным знаком (жирная линия) и без него. По горизонтали отложены значения статистик. Встраивание выполнялось в значения коэффициентов вейвлет – преобразования (вейвлет Хаара).

 

 

	Без модификации амплитуд гармоник сигнала	С использованием преобразования Фурье	С использованием вейвлет-преобразования db5	С использованием вейвлет-преобразования db3	С использованием вейвлет-преобразования haar	С использованием вейвлет-преобразования sym5
среднее значение функции  со встроенным ЦВЗ	0.1519	0.0226	0.0448	0.0523	0.0687	0.0473
среднее значение функции  без встроенного ЦВЗ	-0.0002	-0.0087	-0.0027	0.003	0.004	-0.0003
среднеквадратическое  отклонение функции со встроенным ЦВЗ	0.0103	0.0096	0.0091	0.0091	0.0094	0.0085
среднеквадратическое отклонение функции без встроенного ЦВЗ	0.0061	0.008	0.0067	0.0068	0.0058	0.0058
Относительная ширина распределения  статистики	9.274	1.778	3.006	3.101	4.257	3.329

 

Исходя из полученных данных и приведенных графиков, мы видим, что использование вейвлетов наиболее эффективно для определения наличия или отсутствия ЦВЗ, так как графики плотности распределения функций со встроенным ЦВЗ и без него существенно смещены друг от друга,

а само встраивание ЦВЗ  остается  также менее заметным, как и в случае преобразования Фурье.

 

Проверили влияние сжатия на встраивание ЦВЗ на примере приведенного раннее вейвлета Добеши пятого порядка.

 

Рис.11. Гистограмма распределений статистики со встроенным водяным знаком (жирная линия) и без него, восстановленной после сжатия. По горизонтали отложены значения статистик. Встраивание выполнялось в значения коэффициентов вейвлет – преобразования (вейвлет Добеши пятого порядка).

 

Полученные после восстановления при сжатии  MP3 до скоростей 80 кб/с  значения функций  практически не отличаются от первоначальных, что говорит нам о том, что такое сжатие не оказывает существенного влияния на определение наличия ЦВЗ.

Итак, сравнивая распределения  статистик со встроенным ЦВЗ и  без него, мы 

 пришли к выводу, что наиболее эффективным методом для скрытой передачи данных в аудиосигналах является модификация коэффициентов вейвлет - преобразования, благодаря которой мы с максимальной точностью можем говорить о наличии или отсутствии встроенного ЦВЗ. При этом наилучшие результаты достигаются с использованием вейвлета Хаара и симлета 5-го порядка.

 

 

 

 

Заключение

          В данной работе мы реализовали встраивание ЦВЗ в аудиосигнал, и далее нами было исследовано, в каких случаях и насколько точно мы можем говорить наличие встроенной информации.  Для улучшения точности определения ЦВЗ в аудиосигнале,  мы использовали различные преобразования, такие как Фурье или вейвлет. Сравнивая значения статистик со встроенным ЦВЗ и без него для каждого вида преобразований, мы пришли к выводу, что наиболее эффективным методом при скрытой передачи данных в аудиосигналах является вейвлет -преобразования, благодаря которым мы с максимальной точностью можем сделать вывод о наличии или отсутствии встроенного ЦВЗ. Наиболее же эффективными среди вейвлетов являются вейвлет Хаара и симлет пятого порядка. Были подсчитаны ошибки первого и второго рода. Итак, если в случае Фурье преобразования ошибки несколько превышают 0.01, то при использовании симлета пятого порядка они не превосходят 0.003.

          Также было исследовано влияние сжатия на данный метод встраивания информации, благодаря чему мы смогли сделать вывод о том, что сжатие  MP3 до скоростей 80 кб/с не оказывает существенного влияния на определение наличия ЦВЗ, что говорит о стойкости исследованного нами метода.