Численные методы решения нелинейных уравнений

|x^(k+1)-x^(k)| ≤ (1-q)/q. (11)

Таким образом, для нахождения корней уравнения x=φ(x) методом простой итерации с точностью нужно продолжать итерации до тех пор, пока модуль разности между последними соседними приближениями остается больше числа ε(1-q)/q.

ЗАМЕЧАНИЕ 1: В качестве константы q обычно берут оценку сверху для величины

.

Геометрическая  интерпретация

Рассмотрим  график функции  . Это означает, что решение уравнения и - это точка пересечения с прямой :

Рисунок 1.

И следующая  итерация - это координата x пересечения горизонтальной прямой точки с прямой .

Рисунок 2.

Из рисунка  наглядно видно требование сходимости . Чем ближе производная к 0, тем быстрее сходится алгоритм. В зависимости от знака производной вблизи решения приближения могут строится по разному. Если , то каждое следующее приближение строится с другой стороны от корня:

Рисунок 3.

Заключение.

Проблема  повышения качества вычислений, как  несоответствие между желаемым и  действительным, существует и будет  существовать в дальнейшем. Ее решению  будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается  как в совершенствовании методов  организации информационных процессов, так и их реализации с помощью  конкретных инструментов – сред и  языков программирования.

Итогом работы можно считать созданную функциональную модель нахождения корней уравнения методами простой итерации, Ньютона, хорд и половинного деления. Данная модель применима к детерминированным задачам, т.е. погрешностью экспериментального вычисления которых можно пренебречь. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.

Проведя исследования по теме курсовой работы "Численные методы. Решение нелинейных уравнений", я добилась поставленных  во введении целей. Были подробно рассмотрены методы уточнения корней. К каждому определению и теореме были приведены несколько примеров. Все теоремы доказаны.

Использование различных  источников дало возможность полностью  раскрыть тему.

Список литературы.

1. Бахвалов Н. С. Численные методы  М.: БИНОМ. Лаб. знаний, 2003. 632с.
2. Бахвалов Н. С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н. С. Бахвалов, А. В. Лапин, Е. В. Чижонков. М.: Высш. шк., 2000. 192 с.
3. Вержбицкий В. М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Высш.шк., 2000. 268 с.
4. Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш.шк., 2001. 383с.
5. Волков Е. А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. 248 с.
6. Мудров А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП "РАСКО", 1991. 272 с.
7. Шуп Т. Е. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высш. шк., 1990. 255 с.