Арифметические основы ЭВМ

Роль  знаний по дисциплине в сфере профессиональной деятельности, история развития, поколения вычислительных машин и систем, типы структур вычислительных машин и систем. Представление информации в цифровой форме. Системы счисления. Позиционные системы счисления. Свойства позиционных систем счисления.  Непозиционные системы.

Тема 1.1. Арифметические основы ЭВМ

Роль знаний по дисциплине в сфере профессиональной деятельности, история развития, поколения вычислительных машин и систем, типы структур вычислительных машин и систем. Представление информации в цифровой форме. Системы счисления. Позиционные системы счисления. Свойства позиционных систем счисления.  Непозиционные системы.

Перевод чисел из одной  системы счисления в другую.

Римская система счисления.

Величина чисел  в римской системе счисления  определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра  стоит слева от большей, то она  вычитается, если справа – прибавляется.

 I(1)   V(5)   X(10)  L(50)  C(100)  D(500) M(1000)

(слайд 3)

3. Изложение нового материала.

    Объяснение  нового материала с помощью  презентации.

 

Позиционные системы  счисления с произвольным основанием.

Aq  =  a_n-1*q ^n-1 + a_n-2*q ^n-2+ . . . + a₀*q⁰ + a_-1*q^-1  + . . . + a_-m *q^-m

(слайд 4)

 

  Примеры: A₂ =  a_n-1*2 ^n-1+ a_n-2*2^n-2+ . . . +a₀*2⁰ + a_-1*2^-1  + . . . + a_-m *2^-m

А₂= 101001

А₂= 1*2⁵ + 0*2⁴+1*2³+ 0*2²+0*2¹+1*2⁰

А₈= 7683

А₈= 7*8³ + 6*8²+8*8¹+ 3*8⁰

(слайд 5)

 

Перевод чисел в десятичную систему счисления.

 

Перевод числа из двоичной системы  в десятичную.

Возьмем любое двоичное число, например 101. Запишем  его в развернутой форме и  произведем вычисления:  А₂=101

А₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰= 1*4 + 0*2 + 1*1= 5.

(слайд 6)

 

Перевод числа из восьмеричной системы  в десятичную.

Возьмем любое восьмеричное число, например 113. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления: А₈=113

А₈ = 1*8² + 1*8¹ + 3*8⁰= 1*64 + 1*8 + 3*1= 64+8+3=75.

(слайд 7)

 

Перевод числа из шестнадцатеричной  системы в десятичную.

Возьмем любое шестнадцатеричное число, например 239. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления: А₁₆=239

А₁₆ = 2*16² + 3*16¹ + 9*16⁰= 2*256 + 3*16 + 9*1= 512+48+9=569.

(слайд 8)

 

        Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другую.

 

Алгоритм  перевода целого числа из десятичной системы счисления в другую.

 

  1. Последовательно выполнять деление  исходного числа и получаемых  частных  на основание новой  системы счисления  до тех  пор, пока не получим частное,  меньшее делителя.

  2. Составить число, для чего надо  записать остатки в обратной последовательности.

(слайд 9)

 

Пример 1. Перевести число 25₁₀ из десятичной системы счисления в двоичную. А₁₀→А₂

(слайд 10)

 

Пример 2. Перевести 241₁₀ в восьмеричную систему счисления. А₁₀→А₈

 (слайд 11)

 

Пример 3. Перевести 393₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления. А₁₀→А₁₆

 (слайд 12)

 

Перевод дробей из десятичной системы счисления в другую.

Алгоритм  перевода дробей из десятичной системы  счисления в другую.

 

  1. Последовательно умножать данную  дробь на основание системы  счисления, в которую переводим, до тех пор, пока дробная часть не будет равна нулю, или не будет достигнута требуемая точность вычислений. При этом необходимо выделять целые части получаемых произведений;

  2. Составить число, для чего надо  записать полученные целые части произведения в прямой последовательности.

(слайд 13)

 

Пример 1. Перевести число 0,65625 в восьмеричную систему счисления. А₁₀→А₈

 (слайд 14)

 

Пример 2. Перевести число 0,65625 в шестнадцатеричную систему счисления. А₁₀→А₁₆

(слайд 15)

 

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную.

Для записи двоичных чисел используются две  цифры, то есть возможны 2 варианта записи.  Решаем показательное уравнение:

2 = 2ⁱ. Так как 2 = 2¹, то i = 1 бит.

Каждый  разряд двоичного числа содержит 1 бит информации.

(слайд  3)

 

  Алгоритм перевода целых чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную.

1. Разбить  на группы по три цифры, справа  налево.

2. Если  в последней, левой, группе  окажется меньше трех цифр, то  необходимо ее дополнить слева  нулями. 

3. Преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру.

(слайд 4)

 

Переведем таким способом двоичное число 101001_² в восьмеричное:

101    001 => 1*2² + 0*2¹+ 1*2⁰ =5 

                      0*2² + 0*2¹+ 1*2⁰=1       

101001_²=> 51_⁸

Для упрощения  перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры:

 

Двоичные триады		000		001		010		011		100		101		110		111
Восьмеричные  цифры		0		1		2		3		4		5		6		7

(слайд  5)

 

Алгоритм перевода дробных чисел  из двоичной системы счисления в восьмеричную.

1. Разбить  на группы по три цифры, слева  направо.

2. Если  в последней, правой, группе окажется  меньше трех цифр, то необходимо  ее дополнить справа нулями.

3. Преобразовать  каждую группу в восьмеричную  цифру. 

(слайд  6)

 

Например, преобразуем дробное двоичное число А₂ = 0,110101^₂ в восьмеричную систему счисления.     

000,  110  101 => 0*2² + 0*2¹+ 0*2⁰ =0 

                             1*2² + 1*2¹+ 0*2⁰=4+2=6

                             1*2² + 0*2¹+ 1*2⁰=4+1=5              

0, 110101_²=> 0, 65_⁸

Двоичные триады	110	101
Восьмеричные  цифры	6	5

(слайд  7)

       

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную

Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, то есть возможны 16 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

16 = 2_ⁱ . Так как 16 = 2_⁴, то i = 4 бита.

Каждый  разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

(слайд 8)

 

Алгоритм перевода целых чисел  из двоичной системы счисления в  шестнадцатеричную.

1. Разбить  на группы по четыре цифры, справа налево.

2. Если  в последней, левой, группе  окажется меньше четырех цифр, то необходимо ее дополнить  слева нулями. 

3. Преобразовать  каждую группу в шестнадцатеричную  цифру. 

(слайд  9)

 

Переведем таким способом двоичное число 101001_² в шестнадцатеричное:  00101001_²

0010  1001 => 0*2_³ +  0*2_² + 1*2_¹ + 0*2_⁰ =2

                          1*2_³ + 0*2_² + 0*2_¹ + 1*2_⁰ =9      

 Получаем: 101001_²=> 29_¹⁶

Для упрощения  перевода можно заранее подготовить  таблицу преобразования двоичных тетрад (групп по 4 цифры) в шестнадцатеричные цифры.

(слайд  10)

 

Двоичные тетрады	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
Шестнадцатеричные цифры	0	1	2	3	4	5	6	7
Двоичные тетрады	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Шестнадцатеричные цифры	8	9	A	B	C	D	E	F

(слайд 11)

 

Алгоритм перевода дробных чисел  из двоичной системы счисления в  шестнадцатеричную.

1. Разбить  на группы по четыре цифры,  слева направо.

2. Если  в последней, правой, группе окажется  меньше четырех цифр, то необходимо  ее дополнить справа нулями. 

3. Преобразовать  каждую группу в шестнадцатеричную  цифру. 

(слайд  12)

Переведем дробное двоичное число 0,110101_² в шестнадцатеричную систему счисления:

0000, 1101  0100 => 0*2_³ +  0*2_² + 0*2_¹ + 0*2_⁰ =0

                                   1*2_³ + 1*2_² + 0*2_¹ + 1*2_⁰ =8+4+1=13=D 

                                   0*2_³ +  1*2_² + 0*2_¹ + 0*2_⁰ =4     

 Получаем: 0,110101₂ = 0,D4₁₆

 

Двоичные тетрады	1101	0100
Шестнадцатеричные цифры	D	4

(слайд 13)