Математические и статистические методы в экономике

Примеры составления  математических моделей

 
Пример 1.1. Пусть некоторый экономический регион производит несколько (n) видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов, с учетом того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.  
Составим математическую модель этой задачи. По ее условию даны: виды продуктов, спрос на них и технологический процесс; требуется найти объем выпуска каждого вида продукта  
Обозначим известные величины:  
c _i — спрос населения на i-й продукт (i=1,...,n);  
a _ij — количество i-го продукта, необходимое для выпуска единицы j -го продукта по данной технологии ( i=1,...,n ; j=1,...,n);  
Обозначим неизвестные величины:  
х _i — объем выпуска i-го продукта (i=1,...,n);  
Совокупность с =( c₁ ,...,c_n ) называется вектором спроса, числа a_ij — технологическими коэффициентами, а совокупность х =( х₁ ,...,х_n )— вектором выпуска.  
По условию задачи вектор х распределяется на две части: на конечное потребление (вектор с ) и на воспроизводство (вектор х-с ). Вычислим ту часть вектора х которая идет на воспроизводство. По нашим обозначениям для производства х_j количества j-го товара идет a_ij · х_j количества i-го товара. Тогда сумма a_i1 · х₁ +...+ a_in · х_n показывает ту величину i-го товара, которая нужна для всего выпуска х =( х₁ ,...,х_n ). Следовательно, должно выполняться равенство:

 
х_i - с_i = a_i1 · х₁ +...+ a_in · х_n

 
Распространяя это рассуждение на все виды продуктов, приходим к искомой  модели:

 
х₁ - с₁ = a₁₁ · х₁ +...+ a_1n · х_n  
х₂ - с₂ = a₂₁ · х₂ +...+ a_2n · х_n  
....................................................  
х_n - с_n = a_n1 · х_n +...+ a_nn · х_n

Решая эту систему из n линейных уравнений относительно х₁ ,...,х_n и найдем требуемый вектор выпуска.  
Для того, чтобы написать эту модель в более компактной (векторной) форме, введем обозначения:

 
Квадратная (nxn) —матрица А называется технологической матрицей.Легко проверить, что наша модель теперь запишется так: х-с=Ах или

 
Мы получили классическую модель "Затраты-выпуск", автором которой является известный американский экономист В. Леонтьев. Более подробно эта модель будет рассматриваться в главе VI .

 
Пример 1.2.Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти: сортом А в количестве 10 единиц, сортом В — 15 единиц. При переработке из нефти получаются два материала: бензин (обозначим Б) и мазут (М). Имеется три варианта технологического процесса переработки:  
I: 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М  
II:2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М  
III:2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М

 
Цена бензина — 10 долл. за единицу, мазута — 1 долл. за единицу. Требуется  определить наиболее выгодное сочетание  технологических процессов переработки  имеющегося количества нефти.  
Перед моделированием уточним следующие моменты. Из условия задачи следует, что "выгодность" технологического процесса для завода следует понимать в смысле получения максимального дохода от реализации своей готовой продукции (бензина и мазута). В связи с этим понятно, что "выбор (принятие) решения" завода состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить. Очевидно, что таких возможных вариантов достаточно много.  
Обозначим неизвестные величины:  
х_i—количество использования i-го технологического процесса (i=1,2,3).  
Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута) известны.  
Теперь одно конкретное решение завода сводится к выбору одного вектора х=( х₁ ,х₂ ,х₃), для которого выручка завода равна (32х₁+15х₂ +12х₃) долл. Здесь 32 долл. — это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. ·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = 32 долл.). Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего технологических процессов соответственно. Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:

 
для сорта А:

 
для сорта В: ,

 
где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 — это нормы расхода нефти  сорта А для одноразового применения технологических процессов I, II, III соответственно. Коэффициенты второго неравенства имеют аналогичный смысл для нефти сорта В.  
Математическая модель в целом имеет вид:

 
Найти такой вектор х = ( х₁ ,х₂ ,х₃), чтобы  
максимизировать f(x) =32х₁+15х₂ +12х₃  
при выполнении условий:  

 
 
.

 
Сокращенная форма этой записи такова:

 
Мы получили так называемую задачу линейного программирования.  
Модель (1.4.2.) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

 

Статистические  методы. Основы математической статистики.

Закономерности в экономике  выражаются в виде связей и зависимостей экономических показателей, математических моделей их поведения. Такие зависимости  и модели могут быть получены только путем обработки реальных статистических данных, с учетом внутренних механизмов связи и случайных факторов. Модель может быть получена и апробирована на основе анализа статистических данных, и изменения в поведении последних  говорят о необходимости уточнения  и развития модели. Математическая статистика (то есть теория обработки и анализа данных) и ее применение в экономике позволяют строить экономические модели и оценивать их параметры, проверять гипотезы о свойствах экономических показателей и формах их связи, что в конечном счете служит основой для экономического анализа и прогнозирования, создавая возможность для принятия обоснованных экономических решений.

 

 

Список использованной литературы

1. Орехов «Методы экономических исследований», М., 2009г.
2. Ковальзон И.Д. «Методы исторических исследований», М., 1987.
3. Петти У. «Экономические и статистические работы», С., 1940.
4. Математическая экономия// Экономико-математический словарь, М., 2003.
5. О.О.Замков, А.В.Толстопятенко, Ю.Н.Черемных «Математические методы в экономике»: Учебник, 2-е издание.-М., 1999.