Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Декабря 2013 в 11:00, реферат
Корреляция (correlation) - статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин.
Корреляция является методом анализа сигналов. Приведем один из вариантов использования метода. Допустим, что имеется сигнал s(t), в котором может быть (а может и не быть) некоторая последовательность x(t) конечной длины Т, временное положение которой нас интересует.
Амплитуды составляющих также будут бесконечно малы. Поэтому говорить о спектре такого сигнала уже нельзя, т.к. спектр становится сплошным.
При предельном переходе в случае Т=>∞, имеем:
Таким образом, в пределе получаем:
(14) |
Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают :
(15) |
Пределы интегрирования можно для общности поставить бесконечными, так как все равно там, где s(t) равна нулю, и интеграл равен нулю.
Выражение для спектральной плотности называют прямым преобразованием Фурье (15). Обратное преобразование Фурье определяет временную функцию сигнала по его спектральной плотности (16):
(16) |
Прямое (15) и обратное (16) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье.
Модуль спектральной плотности определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент называют фазочастотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ - нечетной.
Смысл модуля S(w) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту w . Его размерность - [сигнал/частота].
ТИПИЧНЫЕ СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА К ХАОСУ
Установление в динамической системе хаотического режима движения в результате той или иной последовательности бифуркаций принято называть сценарием, или картиной развития хаоса.
Разрушение тора.
Допустим, что в результате потери устойчивости предельным циклом в фазовом пространстве динамической системы родился двумерный тор (рисунок 7).
С последующим изменением параметра µ в фазовом пространстве многомерной динамической системы может произойти потеря его устойчивости и рождение трехмерного тороидального многообразия. При этом поведение системы будет характеризоваться тремя независимыми частотами. Дальнейшее изменение управляющего параметра может привести к последовательности бифуркаций, в результате которых в фазовом пространстве диссипативных динамических систем возникают инвариантные торы все возрастающей размерности. В конечном счете мы придем к сложному квазипериодическому движению с k несоизмеримыми частотами, которое при очень большом k будет выглядеть как хаотическое.
Считая, что такой путь развития хаоса действительно возможен, Ландау и независимо Хопф выдвинули гипотезу, согласно которой хаотическая динамика диссипативных систем есть не что иное, как движение по инвариантному тору большой размерности. Такой тор будет занимать в фазовом пространстве область, соответствующую всевозможным наборам начальных фаз, и наматывающаяся на него фазовая траектория будет с течением времени проходить практически через любую сколь угодно малую часть этой области.
Рисунок 7 – Рождение двумерного тора из теряющего устойчивость предельного цикла
Отметим также, что картина Ландау – Хопфа не подтверждается экспериментально: после небольшого числа бифуркаций обычно наблюдается резкий переход к хаотическому движению.
Сценарий Фейгенбаума.
Сценарий Фейгенбаума отвечает ситуации, когда в результате потери устойчивости исходного цикла в фазовом пространстве рождается цикл удвоенного периода. При дальнейшем увеличении управляющего параметра может снова произойти бифуркация потери устойчивости, в результате которой появится цикл учетверенного (по сравнению с исходным) периода, и т. д. В частности, возможна бесконечная последовательность удвоений периода исходного предельного цикла. Эта последовательность бифуркаций происходит на конечном интервале изменения управляющего параметра и переводит систему от устойчивого периодического движения к хаотической динамике.
Рассмотрим это явление более подробно, иллюстрируя сказанное на примере системы Реслера.
(16) |
Уравнения (16) описывают динамику абстрактной химической реакции. При определенном значении параметра µ = µ1 из устойчивой точки посредством бифуркации Андронова – Хопфа рождается предельный цикл периода τ1 (рисунок 8 а). При увеличении µ, µ > µ1, этот цикл остается устойчивым, пока не будет достигнуто следующее бифуркационное значение µ = µ2 . В этот момент цикл периода τ1 превращается в сложенный «восьмеркой» устойчивый предельный цикл вдвое большего периода τ2 = 2τ1 (рисунок 8 б). Он замыкается после двух оборотов теряющего устойчивость цикла, а в спектре движения появляются кратные гармоники.
С дальнейшим увеличением параметра µ, µ > µ2 , при µ = µm , m = 3, 4, . . . в системе будут происходить последовательные бифуркации удвоения, приводящие к возникновению устойчивого периодического движения, соответственно, с периодами 2 τ1, m = 3, 4, . . . (рисунок 8 в, г).
Рисунок 8 – Переход к странному аттрактору через последовательность бифуркаций удвоения периода предельного цикла в системе Реслера
Значения управляющего параметра µ = µm , при которых происходят очередные бифуркации удвоения, образуют сходящуюся последовательность:
(17) |
Когда µ = µ∞ предельный цикл достигает бесконечно большого периода, т. е. превращается в не замыкающуюся притягивающую фазовую траекторию, из которой при µ > µ∞ формируется странный аттрактор (рисунок 8 д). Динамика системы в этом случае характеризуется сплошным спектром и разбеганием близких фазовых кривых. Скорость сходимости бесконечной последовательности µm определяется универсальной постоянной — числом Фейгенбаума:
(18) |
Описанному сценарию присуща универсальность: константа Фейгенбаума δ не зависит от конкретного вида динамической системы.
Сценарий развития хаоса Фейгенбаума хорошо подтверждается численными исследованиями. Последовательности бифуркаций удвоения периода найдены во многих системах и отображениях, в том числе и в системе Лоренца при больших значениях параметра r. Ряд физических, химических и многие другие эксперименты также обнаруживают эти бифуркации и некоторые признаки универсальности.
Заметим, что в реальных экспериментах и численных расчетах, где всегда имеются физические шумы или ошибки округления, бесконечную последовательность бифуркаций удвоения наблюдать не удается. Вместо этого после нескольких бифуркаций удвоения движение сразу становится хаотическим.
Перемежаемость.
При таком движении всплески хаотического поведения чередуются (перемежаются) с участками, на которых происходят почти периодические колебания (рисунок 9).
Рисунок 9 – Типичная временная зависимость динамических переменных Xi при переходе к хаосу через перемежаемость
Чтобы пояснить механизм, лежащий в основе перемежаемости, рас- смотрим одномерное отображение вида:
(18) |
Будем считать, что график отображения (18) при определенном критическом значении параметра µ = µc касается биссектрисы xn+1 = xn. Для удобства предположим, что точкой касания является начало координат x = 0 (рисунок 10). Разложим вблизи ее функцию ϕ в ряд по степеням xn .
Следовательно, оставляя в разложении члены не выше 2-го порядка малости, найдем из (18):
(19) |
Рисунок 10 – Пример одномерного отображения, демонстрирующего режим с перемежаемостью