Тонкостенные оболочки

Следует отметить, что чем  меньше отношение толщины h оболочки к ее радиусу R, тем точнее выполняется предположение о постоянстве напряжений по толщине и тем более точнее выполняются расчеты по безмоментной теории.

Отметим, что оболочка считается тонкой, если  .

Следовательно, при расчете  на прочность тонких оболочек в зависимости  от характера распределения внешних  нагрузок, опорных закреплений, применяется или безмоментная или моментная теория. При этом предполагается равномерное распределение напряжений по продольным и поперечным сечениям оболочек (отсутствие в этих сечениях изгибающих, крутящих моментов и поперечных сил).

 

2.2 Расчет оболочек по безмоментной теории

 

2.2.1 Оболочка вращения при осесимметричной нагрузке

 

Оболочка вращения имеет  одну ось симметрии. Ее срединная  поверхность образована вращением  вокруг оси кривой (рис. 1), называемой меридианом. Точка этой кривой описывает окружность радиусом − параллель. Величину называют радиусом параллельного круга.

Рисунок 1. Серединная поверхность оболочки

 

При осесимметричной нагрузке в оболочке вращения сдвигающие (кососимметричные) усилия отсутствуют.

Выделим элемент оболочки двумя меридиональными и двумя  параллельными (перпендикулярными  к оси симметрии) плоскостями (рис. 2). На элемент действуют меридиональные погонные усилия , кольцевые погонные усилия и нагрузка, составляющая которой вдоль нормали к поверхности − .

Рисунок 2. Элемент оболочки двумя меридиональными и двумя параллельными (перпендикулярными к оси симметрии) плоскостями

 

Проекция сил на нормаль  к поверхности  дает:

Пренебрегая величинами третьего порядка малости и заменяя  дифференциалы углов дифференциалами  дуг  , , после сокращения на , получаем:

.     (1)

Для определения меридионального  усилия отсечем горизонтальной плоскостью верхнюю часть оболочки (рис. 3) и спроектируем действующие на нее силы на ось .

Рисунок 3. Отсеченная горизонтальной плоскостью верхняя часть оболочки

 

Равнодействующая нагрузки , приложенной к отсеченной части оболочки, в силу осесимметричности действует вертикально. В этом случае получаем:

,

откуда

.     (2)

Подставляя меридиональное усилие (2) в (1) можем получить кольцевое усилие .

Меридиональные усилия дают горизонтальные составляющие

,

которые на нижнем краю оболочки создают горизонтальные усилия

,     (3)

при нагрузке , направленной вниз, растягивающие опорное кольцо.

Рассмотрим половину опорного кольца (рис. 4), загруженного радиальной нагрузкой .

Рисунок 4. Половина опорного кольца

 

Из условия равновесия

получаем растягивающее  усилие в кольце:

или, с учетом (3) и :

.    (4)

Наибольшее значение усилие достигает при , а при обращается в ноль.

 

2.2.2 Изгиб оси оболочки вращения

 

Расчет оболочки на произвольную нагрузку можно выполнить на основе аналогии ее с прямым стержнем, работающим на поперечный изгиб.

Будем считать, что меридиональные усилия в сечении оболочки, перпендикулярном к оси симметрии, изменяются по закону плоскости.

Отсекая верхнюю часть оболочки (рис. 5, а), обозначим − горизонтальную составляющую нагрузки и − ее момент относительно оси сечения, перпендикулярной к площади рисунка.

 

Рисунок 5. Отсеченная верхняя часть оболочки

 

Тогда, обозначив  − усилие в точке сечения оболочки, лежащей на оси , получаем закон изменения меридионального усилия вдоль параллели

или, с учетом ,

.     (5)

Горизонтальная проекция этих усилий (рис. 5, а, б)

дает равнодействующую

.  (6)

Меридиональные усилия создают  также момент относительно оси  , который уравновешивает внешний момент :

  (7)

Считая, что сдвигающие усилия в горизонтальном сечении оболочки (рис. 5, в) распределены по закону

,     (8)

найдем их равнодействующую:

.   (9)

Равнодействующие  (6) и (9) должны уравновесить поперечную нагрузку , приложенную к отсеченной части оболочки:

.    (10)

Из (7) находим меридиональное усилие

     (11)

и, далее, из (10) сдвигающее усилие

.    (12)

Формулы (11) и (12) дают возможность через горизонтальную составляющую и момент нагрузки определить меридиональное и сдвигающее в сечениях оболочки. Расчет на вертикальную составляющую нагрузки можно выполнить по формулам (9), (10).

Такой расчет является приближенным, поскольку нагрузка в общем случае может вызвать другие усилия по сравнению  с найденными по (9), (10), (11), (12).

 

 

 

 

 

2.2.3 Оболочка произвольной формы

 

Для отображения поверхности  оболочки обычно используют ортогональную  систему криволинейных координат  и (рис. 6), соответствующих линиям главных кривизн.

 

Рисунок 6. Ортогональная система криволинейных координат и

 

Бесконечно малые дуги и можно считать отрезками прямых. Их называют линейными элементами поверхности и они пропорциональны дифференциалам координат:

, .     (13)

Коэффициенты  и называют коэффициентами первой квадратичной формы поверхности:

.

Например, для оболочки вращения, если координату отсчитывать вдоль меридиана, − вдоль параллели, а расположение точки на поверхности определять координатой на меридиане и углом на параллели, получаем:

,  .

Отсюда  , .

В общем случае оболочки коэффициенты и являются функциями координат и .

Выделим бесконечно малый  элемент  срединной поверхности оболочки (рис. 7).

Стороны этого криволинейного четырехугольника

;  ;

;  .

Грани элемента в касательной  плоскости образуют углы

;  .  (14)

Дугам и соответствуют углы и в плоскостях главных кривизн:

;   .   (15)

 

 

Рисунок 7. Бесконечно малый элемент срединной поверхности

оболочки

 

В безмоментном состоянии на гранях выделенного элемента действуют погонные нормальные , и сдвигающие , усилия (рис. 8). В ортогональной системе координат поверхностная нагрузка представлена составляющими ее интенсивности , , .

 

Рисунок 8. На гранях действуют погонные нормальные , и сдвигающие , усилия

 

Из условия равенства  нулю суммы моментов сил относительно оси  получаем

.     (16)

Это соотношение выражает закон парности сдвигающих усилий.

Проектируя все силы на ось  , получаем:

Раскрывая скобки, приводя  подобные и отбрасывая бесконечно малые  выше второго порядка, получаем:

.

Далее преобразовываем производные:

;

и подставляем дифференциалы  углов  , и , из (14), (15). Учитывая закон парности сдвигающих усилий (16), получаем первое уравнение равновесия в (17). Аналогично получены остальные уравнения (17) из условий равенства нулю проекций или на оси и :

;

;  (17)

.

Остальные уравнения (моменты  сил относительно осей и ) обращаются в тождества.

Три уравнения (17) содержат три неизвестных усилия , , , т.е. оболочка статически определима в бесконечно малом.

Рассмотрим частные случаи оболочки.

Сферическая оболочка. Для нее имеем . Отсчитывая координату вдоль меридиана и заменяя ее на , а координату − вдоль параллели и заменяя ее на (рис. 9), получаем:

,  ,

т.е. , .

 

Рисунок 9. Сферическая оболочка

 

Теперь уравнения (17) будут такими:

,

,   (18)

.

Цилиндрическая  оболочка (рис 10). Для этой оболочки , , , , , .

Уравнения (17) принимают такой вид:

,

,    (19)

.

 

 

Рисунок 10. Цилиндрическая оболочка

 

2.3 Расчет оболочек по моментной теории

 

2.3.1 Оболочка вращения при осесимметричной нагрузке

 

Рассмотрим равновесие элемента срединной поверхности оболочки (рис. 11). На его гранях, кроме усилий , действуют поперечные силы и изгибающие моменты , . Из симметрии нагрузки следует, что сдвигающие усилия, крутящие моменты и поперечные силы отсутствуют, а усилия и моменты будут постоянны вдоль параллели. Нагрузка при этом задана составляющими и .

Условия равенства нулю суммы  проекций сил на оси  и , а также моментов относительно оси приводят к таким условиям равновесия:

;

;   (20)

.

Остальные уравнения равновесия обращаются в тождества, задача является статически неопределимой и необходимо исследовать деформации.

Рисунок 11. Равновесие элемента срединной поверхности оболочки

 

При осесимметричной нагрузке перемещения точек срединной поверхности определяются двумя составляющими: − вдоль касательной к меридиану (тангенциальное перемещение) и − вдоль нормали к поверхности (радиальное перемещение).

Рассмотрим деформацию элемента меридиана длиной (рис. 12). После деформации длина элемента изменяется на величину

и относительное удлинение  меридиана составит

.   (21)

Приращение радиуса параллельного  круга соответствует горизонтальной проекции расстояния на рис. 12:

 

.

Оно определяет линейную деформацию в кольцевом направлении:

.   (22)

 

Рисунок 12. Деформация элемента меридиана длиной

 

Для определения изменения  кривизны меридиана найдем поворот  нормали в точках и (рис. 30):

;   .

Отношение разности углов  поворота нормали к длине  дуги дает приращение кривизны меридиана:

.   (23)

Поворот нормали относительно вертикальной оси в каждой точке  параллели одинаков и составляет

.

Соответствующий взаимный поворот  нормалей в смежных точках параллели  составит

.

Тогда приращение кривизны параллели получим делением величины этого поворота на длину элемента параллели  :

.   (24)

Формулы (21),…, (24) устанавливают связь между деформациями и перемещениями.

Соотношения между усилиями и деформациями представим упрощенными  уравнениями теории тонких оболочек:

  (25)

где − цилиндрическая жесткость, − толщина оболочки.

Итак, для расчета моментной  оболочки вращения при осесимметричной нагрузке имеем 11 уравнений (20),…, (25), в которые входят 11 неизвестных: усилия , , , , , перемещения , и деформации , , , .

 

2.3.2 Краевой эффект в оболочке вращения