Оптимизация состава формовочной смеси

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по  образованию

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального

образования  «Алтайский государственный технический университет  им.И.И.Ползунова»

 

Факультет инновационных  технологий машиностроения

 

Кафедра «Машиностроительные  технологии и оборудование» 

 

 

Отчёт защищён с оценкой ____________

 

Преподаватель Мустафин Г.А.А(подпись)                     (Ф.И.О)

«____» ____________2012г.

 

                      Отчёт по лабораторной работе

По дисциплине «Оптимизация инженерных задач»

«Оптимизация состава формовочной смеси»

Работу выполнил                        ЛП-01    Сорокина А.С.

А(студент группы)                    

Проверил д            кандидат технических наук  Мустафин Г.А.

 

 

 

 

Барнаул 2012

 

 

 

 

1.Введение

Из многих возможных путей  поиска оптимальных составов смесей, обладающих определенным комплексом физико-механических свойств, в настоящих методических указаниях предлагается метод Бокса-Уилсона. Идея этого метода основана на последовательной постановке небольших серий опытов, в каждом из которых одновременно варьируются по определенным правилам переменные  факторы, влияющие на изучаемую  величину.

Для описания объекта исследования (формовочная или стрежневая смесь, сплав и др.) удобно использовать представление о кибернетической  системе, которая схематически изображена на рисунке 1.

Х1 У1

Х2                                                                                               У2

Х3                                                                                                У3

Хn                                                                                                 Xn

 

Стрелки, изображенные слева- вход системы. Стрелки, изображенные справа- выход или характеристики исследуемых параметров.

 

2.Математическая  модель

При решении задач исследования используется математические модели объекта  исследования, т.е. уравнения, связывающие  исследуемый параметр с переменными  факторами.

Это уравнение можно записать в общем виде:

   (1)

При неполном знании механизма  влияния переменных (факторов) на свойства формовочных смесей аналитическое  выражение функции (1) неизвестно и  поэтому приходится ограничиваться представлением ее полиномом 

 

Где  ,,,,… - коэффициенты уравнения при соответствующих переменных, характеризующие степень влияния на значение параметра Y.

При этом исследование обычно сводится к отысканию путем проведения эксперементов коэффициентов ,,,, , которые являются лишь оценками теоретических коэффициентов уравнения (2).

Уравнения (1) и (2), связывающие  исследуемый параметр с переменными  факторами, называются математическими  моделями объекта.

Главное требование к математической модели состоит в том, чтобы с  ее помощью предсказать с требуемой  точностью направление проведения дальнейших опытов с целью изменения  параметров в сторону их увеличения или уменьшения.

 

3. Принятие решений  перед планированием эксперимента.

Выбор интервала  варьирования факторов.

Каждый фактор имеет определенные пределы изменения своей величины, внутри которых он может принимать  любое значение.

Совокупность всех значений, которые может принимать фактор, называется областью определения фактора. Для планирования эксперимента не используется вся область определения фактора, а некоторая подобласть, значения факторов  в которой дают наилучший  результат. Изменение факторов в  размере этой подобласти называется интервалом варьирования. Интервал варьирования факторов выбирается на осонове априорной информации.

Средние значения факторов называются основными уровнями факторов. Прибавление интервала варьирования, который обычно выражается числом, к основному уровню дает верхний, а вычитание- нижний уровни факторов.

Для упрощения записи условий  эксперимента и обработки экспериментальных  данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, а основной -1. Такая операция называется кодированием факторов.

Для факторов с непрерывной  областью определения это достигается  с помощью формулы преобразования:

(3)

Где – кодированное значение факторов;

           - значение фактора в натуральных  единицах

           - значение основного уровня в  натуральных единицах;

i- номер интервала;

δ- интервал варьирования.

 

 

 

4. Полный факторный  эксперимент.

Полным факторным экспериментом  называется эксперимент, в котором  реализуются все возможные сочетания  факторов, т.е. выполняется количество опытов, равное .

Факторный эксперимент осуществляется с помощью матрицы планирования, в которой используют кодированные значения уровней факторов.

Расчет коэффициентов  математической модели производится по следующей  формуле:

  (4)

 

Где i=1,2,3…к- номер факторов;

j-номер опыта в матрице планирования;

N-количество опытов.

Использование кодирования  переменных факторов превратило расчет коэффициентов в простую арифметическую процедуру.

Величина коэффициента при  неизвестных переменных указывает  на степень влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает изменение фактора в интервале между нижним и верхним уровнями на исследуемую величину. Если коэффициент имеет знак «+», то с увеличением значения фактора величина исследуемого параметра увеличивается, если знак «-», то уменьшается.

 

5.Проведение эксперимента  и обработка результатов опыта.

После выбора плана эксперимента, основных уровней и интервалов варьирования факторов переходят непосредственно  к эксперименту. Каждая строка матрицы- это условия опыта.

5.1 Рандомизиция.

Для уменьшения влияния систематических  ошибок, вызванных внешними условиями, рекомендуется случайная последовательность при постановке запланированных  опытов и их дублей. Порядок следования опытов не должен совпадать с матрицей. Определение случайного чередования  опытов называется рандомизацией.

5.2.Ошибки  параллельных опытов.

При проведении опытов необходимо учитывать ошибку эксперимента. Ошибку эксперимента оценивают по параллельным опытам, т.е. опытам, повторенным несколько  раз при одних и тех же значениях  фактора.

Значения параллельных опытов не совпадают. Это обусловлено тем, что на каждый получаемый результат  накладывается инструментальная ошибка, погрешности методики испытаний, а также влияние не учитываемых факторов, изменяющихся помимо воли экспериментатора.

Ошибка параллельных опытов обычно называется ошибкой воспроизводимости. Для оценки этой ошибки, опыт воспроизводится в одинаковых условиях, а затем вычисляется среднее арифметическое всех результатов:

    (5)

Где - результат отдельного опыта;

n-число параллельных опытов.

Дисперсия и ошибка опыта  – меры рассеянности экспериментальных  данных. Чем они больше, тем больше рассеяны значения параллельных опытов около среднего значения. Большое  рассеивание изучаемой величины может произойти из-за наличия  в эксперименте бракованных опытов, давших сомнительные результаты.

Для отсеивания сомнительных результатов применяют критерий Стьюдента:

   (6)

Где t- критерий Стьюдента;

Y-сомнительный результат.

Значение t_расч, вычисленное по формуле (6), сравнивается с табличным t_табл.

(табл.1) и, если t_расч окажется  больше чем t_табл для выбранного уровня значимости и данного числа степеней свободы, то опыт считается бракованным. Число степеней свободы определяется по выражению f=n-1. Где n-число параллельных опытов.

Таблица 1- Значение критерия Стьюдента t при 5%-ном уровне значимости

Число степеней свободы	1	2	3	4	5	6
Значения, t	12.71	4.30	3.18	2.78	2.57	2.45
Число степеней свободы	7	8	9	10	11	12
Значения, t	2.97	2.30	2.26	2.23	2.20	2.18
Число степеней свободы	13	14	15	16	17	18
Значения, t	2.16	2.14	2.13	2.12	2.11	2.10
Число степеней свободы	19	20	25	30	40	60
Значения, t	2.09	2.09	2.06	2.04	2.02	2.00

 

Если окажется, что t_расч< t_табл, то опыт признается годным.

5.3. Расчет  коэффициентов и проверка их  значимости.

Расчет коэффициентов  производится по формуле (4).

Проверка значимости коэффициентов  осуществляется построением доверительного интервала. При реализации полного  или дробного факторного эксперимента доверительные интервалы для всех коэффициентов равны. Прежде всего находим дисперсию коэффициентов модели. При равномерном дублировании опытов по точкам с числом повторных опытов n она определяется по формуле:

 

    (7)

Где N- число опытов матрице;

-дисперсия параметра  оптимизации или дисперсия воспроизводимости эксперимента, которая рассчитывается по формуле:

    (8)

Проверка однородности двух дисперсий проводится с помощью  критерия Фишера, который представляет собой отношения большей дисперсии  к меньшей:

      (9)

 

5.4. Проверка адекватности модели.

Проверка адекватности модели- оценка степени точности отражения свойств изучаемого объекта.

Для проверки адекватности модели необходимо знать дисперсию  адекватности и дисперсию параметра  оптимизации. Расчет дисперсии параметра  оптимизации или, что то же самое, дисперсии воспроизводимости эксперимента производится по формуле (8)

Дисперсию адекватности при одинаковом числе параллельных опытов определяют по формуле:

   (10)

Адекватность модели проверяют  по критерию Фишера (F-критерий):

   (11)

Проверка гипотезы адекватности модели сводится к сравнению расчетного F-критерия с табличным.

Таблица F- критерия построена следующим образом. Столбцы связаны с определенным числом степеней свободы для числителя f₁ , а строки – с определенным числом степеней свободы для знаменателя. На их пересечении находится критическое значение F-критерия. Если расчетное значение F-критерия не превышает табличного, то с соответствующей доверительной вероятностью модель можно считать адекватной. В противном случае гипотезу адекватности необходимо отвергнуть.

 

6.Крутое восхождение  по поверхности отклика.

При адекватности линейной модели возможно улучшение параметра  оптимизации с помощью метода крутого восхождения по поверхности  отклика. Наиболее эффективно движение к оптимуму по градиенту. Градиентом называется вектор, показывающий направление  наискорейшего изменения некоторой  величины, значение которой меняется от одной точки пространства к  другой.

Градиент непрерывной  однозначной функции φ есть вектор

     (12)

Где - градиент

Согласно теории Тейлора  о разложении аналитической функции  в ряд, частные производные функции  по факторам равны по величине и  знаку соответствующим коэффициентам регрессии. Следовательно, градиент Y функции отклика Y есть вектор:

+  (13)

6.1. Расчет крутого восхождения.

В практических задачах для  сокращения объема эксперимента проводят не все, а только часть опытов, предусмотренных  крутым восхождением. Условие опытов выбирают так, чтобы область оптимума можно было заключить в «вилку», после чего опыты проводят в точках интервала, образованных точками «вилки», до нахождения наилучшего результата.

В случае большого числа  факторов, расчет крутого восхождения  по оси каждого фактора производят аналогично расчету при одном  факторе, так как коэффициенты Bi определяются независимо друг от друга. При этом движение по осям всех факторов осуществляется одновременно.

Шаг движения по градиенту  выбирается только для одного фактора, а для остальных он рассчитывается по выражению: