Чернетка з задачами,біографією,та коротким описом

                                   Зміст

1.Вступ

2.Петер Густав Лежен  Діріхле

3.Питання

4.Висновоки

5.Список використаної літератури

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                    ВСТУП

Дуже часто буває так, що при розв'язуванні складних математичних задач  використовують уже відомі методи, прийоми, принципи, теорії тощо. Завдяки цьому, деякі класи задач стають алгоритмічними, і їхні розв'язки - доступними широкому загалу.

Я хочу розповісти про  один із таких принципів, що формулюється надзвичайно просто і доступно,з його допомогою можна розв'язувати досить складні задачі. Жартома цей принцип формулюється так: "Якщо п'ятьох зайців розсадити в чотири клітки, то принаймні в одній із них опиниться два зайці".

В україномовній літературі цей принцип називають принципом Діріхле на честь відомого німецького математика Петера Лежена Діріхле, який перший із допомогою такого простого твердження отримав глибокі результати про наближення ірраціональних чисел раціональними (в англомовній літературі цей принцип більше відомий як "принцип голубів").

Загальне формулювання:

Припустимо, m кроликів розсаджені в n клітках. Тоді хоч би в одній клітці міститься не менше   кроликів, а також хоч би в одній іншій клітці міститься не більше   кроликів.

 Принцип Діріхле, не зважаючи на його надзвичайну очевидність і простоту, часто використовується при розв'язувані задач і доведенні теорем у різних галузях математики. Продемонструємо приклади застосування принципу Діріхле до розв’язування логічних задач.

                                    Приклади задач,та розвязки

*Задача 1. По вулицях міста рухаються 487 тролейбусів. В кожному з них може знаходитися не більше ніж 70 людей. Крім водія в тролейбусі завжди їде кондуктор. Довести, що обов’язково знайдеться 8 тролейбусів, в яких їде однакова кількість людей.

Розв’язання. За умовою задачі різних кількостей людей в тролейбусах може бути не більше ніж 69 варіантів (від 2 до 70 чоловік). Оскільки 69*7=483<487, то за принципом Діріхле обов’язково знайдеться 8 тролейбусів з однаковою кількістю людей.

*Задача 2.У мішку лежать кульки двох різних кольорів - чорного і білого. Яку найменшу кількість кульок потрібно вийняти з мішки, шоб серед них точно дві кульки виявились одного кольору?

Розв'язання. Зрозуміло, що узявши три кульки, ми виявимо, що дві з них одного кольору. У даному випадку роль зайців відіграють кульки, а роль кліток - чорний та білий кольори.

*Задача 3. У лісі росте мільйон ялинок. Відомо, що на кожній із них не більше ніж     800 000 голок. Доведіть, що в лісі знайдуться дві ялинки з однаковою кількістю голок.

Доведення. Припустімо, що в лісі всі ялинки мають різну кількість голок (на деякій ялинці голок могло не бути зовсім). Тоді в лісі не більше ніж 800 001 ялинка, що суперечить умові. Тут у ролі зайців були ялинки, а в ролі кліток - усі можливі варіанти кількості голок на них.

*Задача 4. На 5 поличках книжкової шафи 160 книг, причому на одній із них - 3 книги. Доведіть, що знайдеться поличка, на якій не менше ніж 40 книг.

Доведення. Припустімо, що на кожній із решти 4 поличок не більше ніж 39 книг. Тоді на всіх 5 поличках не більше ніж 3 + 4∙39 = 159 книг, що суперечить умові. Отже, на одній із поличок не менше ніж 40 книг.  

*Задача 5. Якщо nк +1 предмет розкладено в n ящиків, то принаймні в одному з ящиків знаходиться не менше ніж к + 1 предмет.

Доведення. Нехай х, (r = 1,...,n) - кількість предметів, що знаходяться в r-ому ящику. За умовою

х1+х2+... + хn = n∙к + 1. 

Припустимо, що для кожного r виконується

х_r < к.

Тоді

x1+х2 +... + хn <n-к,

що суперечить умові. Отже, наше припущення було хибним, тобто в одному з ящиків є принаймні к +1 предмет.

*Задача 6. 15 хлопчиків зібрали 100 грибів. Доведіть, що принаймні двоє 
з них зібрали однакову кількість.

Доведення. Припустимо, що твердження задачі неправильне.  Тоді 15 хлопчиків зібрали щонайменше 0 + 1 + 2 + .. . + 14 = 14∙15:2 = 105 грибів.Це суперечить умові.

 

 

Деколи буває корисним ще таке переформулювання принципу Діріхле:                    Якщо одне з кількох чисел більше від їх середнього арифметичного, то серед цих чисел знайдеться інше, що є меншим від їх середні арифметичного.

 

 

 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         Петер Густав Лежен  Діріхле(1805-1859)

Діріхле народився в вестфальському місті Дюрені у родині поштмейстера. Його предки були виходцями з бельгійського міста Рішле. У 12 років Діріхле почав навчатись у гімназії в Бонні, а через 2 роки — в єзуїтській гімназії в Кьольні, де одним з його викладачів був Георг Ом.З 1822 по 1827 рік він був домашнім вчителем в Парижі. В 26 років став професором Берлінського  університету. 
Йому належать  вагомі відкриття у галузі теорії чисел.З ім'ям Діріхле пов'язані задача, інтеграл, принцип, ряди  тощо.Лекції Діріхле  мали значний вплив  на математиків  більш пізнього часу, зокрема на Г.Рімана, Л.Кронекера, Ю. Дедікенда.