Анализ и синтез линейной системы автоматического управления

 

Строим ЛАЧХ и ЛФЧХ (Рис 8)

 

    Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ разомкнутой САУ через линию -180 град в диапазоне частот, где усиление положительное (где ЛАЧХ > 0), была равна нулю. [4, стр 229]

Данное  условие  выполняется, следовательно, САУ - устойчивая.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Определение ошибки заданной  САУ в установившемся режиме.

Рис. 9

При известном  изображении ошибки E(p) можно ее найти в установившемся режиме Е(∞).

 

Найдем  передаточную функцию ошибки по управляющему воздействию:

 

 

 

 

 

 

1.3 Выводы:

 

1) Заданная САУ устойчива по критерию Гурвица и критерию Найквиста в логарифмических координатах.

2) Статическая ошибка больше допустимой, это не удовлетворяет заданному         условию.

3)  Чтобы САУ была устойчивой и удовлетворяла заданным требованиям,       необходимо ввести в САУ корректирующее устройство. Статическую ошибку можно уменьшить, введя дополнительный коэффициент усиления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Синтез системы автоматического  управления

 

Синтез - это выбор структуры и параметров системы так, чтобы она удовлетворяла  заранее поставленным требованиям, при этом предъявляются как общеинженерные требования в отношении веса, габаритов, надёжности, стоимости и т. д., так  и специфические требования в  отношении динамических свойств системы.[2, стр133]

Использование корректирующих устройств наряду с  изменением коэффициента усиления в  разомкнутой цепи и изменением порядка  астатизма приводит в конечном итоге  к деформации частотных характеристик, что и определяет коррекцию динамических свойств системы.[4, стр324]

 

Исходные данные:

 

Допустимая статическая ошибка не более,	Допустимое время регулирования  не более,	Допустимое максимальное перерегулирование  не более
0,0074	1,2	25

 

 

2.1 Определение требуемого коэффициента  передачи синтезируемой САУ.

 

Для статических  систем требуемый коэффициент передачи, обеспечивающий дополнительную ошибку в установившемся режиме, определяется как:

  

 

 

Так как  , следовательно, в контур САУ необходимо включить дополнительный коэффициент:

 

 

Дополнительный  коэффициент усиления включим сразу  после сумматора. Структурная схема  САУ примет следующий вид:

 

Рис. 10

 

 

2.2 Синтез корректирующих устройств  методом логарифмических частотных  характеристик.

 

Наиболее  приемлемы для целей синтеза  логарифмические амплитудные характеристики, т.к. построение ЛАЧХ, как правило, может делаться почти без вычислительной работы. Особенно удобно использовать асимптотические ЛАЧХ.

Синтезировать корректирующее устройство – это  значит выбрать тип и место  включение корректирующего устройства и выбрать типовое устройство, обеспечивающее требуемые динамические свойства проектируемой.

Место включения  КУ определяется исходя из того, чтобы  само корректирующее устройство было наиболее простым, а эффект коррекции  наибольшим. Последовательные КУ стремятся  включать как можно ближе к  входу системы. [1, стр 35]

Включим корректирующее устройство последовательно.

Структурная схема  САУ примет следующий вид:

 

Рис. 11

 

Процесс синтеза обычно включает в себя следующие  операции:

1. Строится  асимптотическая ЛАЧХ нескорректированной системы в разомкнутом состоянии, с учетом

2. Строится  асимптотическая желаемая ЛАЧХ  –

Построения  будем вести позонно, начиная со среднечастотной зоны.

Для построения СЧЗ необходимо определить частоту  среза  желаемой ЛАЧХ и ординаты начала и конца зоны.

Определим :

Для этого  воспользуемся нонограммами [1, стр.38].

При заданном определяем . По и графику находится соотношение между временем регулирования и частотой среза желаемой ЛАЧХ:

                   

При заданном допустимом времени регулирования ( с) частоту среза найдем по формуле:

Определим ординаты начала и конца среднечастотной  зоны.

Ординаты  начала и конца СЧЗ ориентировочно берутся равными требуемому запасу устойчивости по модулю с разными знаками. Требуемые запасы устойчивости определяем по нонограмме В.В.Солодовникова [1, стр. 38].

Получаем  при требуемый запас устойчивости , по фазе

Среднечастотная асимптота  проводится под наклоном -20 дБ/дек через точку на оси абсцисс, имеющую частоту в логарифмическом масштабе _. Начальную и конечную ординаты принимаем равными  16 дБ.

В низкочастотной зоне должна совпасть с . Поэтому построение имеет смысл продолжить с участка асимптоты, соединяющего среднечастотную и низкочастотную зоны. Поведем его под наклоном -20 дБ/дек от частоты влево до пересечения с характеристикой . В точке пересечения при частоте уменьшим наклон на -20 дБ/дек и проведем асимптоту , совпадающую с .

Высокочастотная зона Lж (ω) проводится так, чтобы разность наклонов между Lж (ω) и Lнс (ω) не превышала 20 дб/дек до тех пор, пока наклоны этих характеристик не совпадут по величине. [1, стр 56]

 

3. Определяется ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства

Определим графическим вычитанием ординат из ординат по формуле:

                 [1, стр 39]

Строим ЛАЧХ (Рис 12)

5. Определяется  электрическая схема, передаточная  функция и соотношение параметров  корректирующего устройства.

По виду L_к (ω) выбираем типовое корректирующее устройство № 72.[5]

№ п/п	Схема  корректирующего  устройства	Передаточная функция  и  соотношение параметров	Асимптотическая  логарифмическая   амплитудная характеристика
72		Wк (s) =   T1 = R1С1, T2 = R2С2

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 13

Запишем передаточную функцию корректирующего устройства по виду L_к(ω) только через постоянные времени, использованные в данном примере:

.

Найдём численные значения неизвестных постоянных времени T₅, T₄  и T₃:

, lg ω_ср5 = -1,2 дек, ω_ср5 = 0.069 рад/с, ,

, lg ω_ср2 = 0.43дек, ω_ср4 = 2,7 рад/с, ,

, lg ω_ср6 = 3.18дек, ω_ср3 = 145 рад/с, ,

T₃ = 0.000525 с – см. исходные данные.

 

Подставим численные  значения постоянных времени в W_к (p):

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3 Выводы

 

Для коррекции  исходной САУ также необходимо включить последовательное корректирующее устройство.

Использование корректирующего устройства наряду с изменением коэффициента усиления в разомкнутой цепи  приводит к деформации частотных характеристик, что и определяет требуемую коррекцию  динамических свойств системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Проверка результатов синтеза.

 

3.1 Определение запасов устойчивости системы.

 

Устойчивость  является необходимым условием нормального  функционирования системы автоматического  регулирования. Поэтому cистема автоматического регулирования должна обладать некоторым запасом устойчивости, обеспечивающим работоспособность ее в различных условиях эксплуатации. [2, стр 113]

L_Ж(w) имеет такой же вид, что и апериодическое звено, следовательно передаточная функция L_Ж(w) будет равна:

,

Где значение определены в пункте 2.2

Подставив численные значения, получим:

 

Значит  ЛАЧХ будет иметь 4 излома в точках частоты среза:

 

 

 

 

По оси  абсцисс возьмём равномерный  логарифмический масштаб lg(ω). Поэтому частоты сопряжения пересчитаем в десятичные логарифмы частоты.

Рассчитаем  величину

В координатной плоскости [L (ω), lg (ω)] при частоте ω =1 (lg 1 = 0 дек) отложим ординату и логарифмы частот сопряжения _{, , , . При частотах сопряжения апериодических звеньев наклон Lнс (ω) изменяется на - 20 дБ/дек.}

ЛАЧХ  состоит из четырех участков:

1) горизонтальной прямой, проходящей через точку   _{до точки}

2) участка с наклоном - 20 дБ/дек до точки

3) участка с наклоном - 40 дБ/дек до точки

4) участка с наклоном - 60 дБ/дек до точки

Для построения ЛФЧХ по оси ординат откладывают  величину фазы φ в градусах, а  по оси абсцисс логарифм частоты  в декадах. В этом случае фазовая  характеристика звена определяется выражением:

- для апериодического звена

Фазовая характеристика системы определяется выражением:

_{Подставим постоянные времени:}

 

 

Составим  таблицу зависимости значений фаз  от частоты

ω, с-1	0,069	9	10	17	30	37,8	67,6	80	117,7	1513	3762
lg(ω), дек	-1,2	0,96	1	1,23	1,47	1,58	1,83	1,9	2,07	3,18	3,6
φап1,0С	-45	-89,5	-89,6	-89,7	-89,8	-89,9	-89,9	-89,9	-89,95	-89,99	-90
φап2,0С	-0,03	-4,4	-4,8	-8,2	-14,3	-17,7	-29,8	-34,2	-45	-85,5	-88
φап3,0С	-0,027	-3,6	-3,9	-6,7	-11,7	-14,6	-25	-28,9	-39	-44,5	-87,8
φап4,0С	-0,001	-0,13	-0,15	-0,25	-0,45	-0,56	-1	-1,2	-1,75	-21,5	-44,5
Σφ, 0С	-45	-98,1	-98,45	-104,8	-116	-123	-145,7	-154	-175,7	-242	-310,8