Моделирование системы массового обслуживания

В настоящее время  теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований является простейшим (пуассоновским).

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления за время t ровно k требований задается формулой:

 

 

Важная характеристика СМО - время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории и, особенно, в практических приложениях получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения для этого закона имеет вид:

 

F(t)=1e^-µt

 

Т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит  некоторой величины t, определяется этой формулой, где µ- параметр экспоненциального обслуживания требований в системе, т.е. величина, обратная времени обслуживания t_об:

 

µ=1/ t_об

 

Рассмотрим аналитические модели наиболее распространенных СМО с ожиданием, т.е. таких СМО, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.

Общая постановка задачи состоит в следующем. Система имеет n обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование.

В систему поступает  простейший (пауссоновский) поток требований c параметром . Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.

В системах с определенной дисциплиной обслуживания поступившее требование, застав все устройства занятыми, в зависимости от своего приоритета, либо обслуживается вне очереди, либо становится в очередь.

Основными элементами СМО  являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований.

Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые  поступают в систему и нуждаются  в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.

В большинстве случаев  входящий поток неуправляем и  зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в  единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований и определяется следующим соотношением:

 

 

где Т - среднее значение интервала между поступлением очередных требований.

Для многих реальных процессов  поток требований достаточно хорошо описывается законом распределения  Пуассона. Такой поток называется простейшим.

Простейший поток обладает такими важными свойствами:

1. Свойством стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.
2. Отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную независимость поступления того или иного числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.
3. Свойством ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного поступления двух или более требований (вероятность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляют к нулю).

При простейшем потоке требований распределение требований, поступающих в систему подчиняются закону распределения Пуассона:

вероятность того, что в обслуживающую систему за время t поступит именно k требований:

 

 

Где . - среднее число требований, поступивших на обслуживание в единицу времени.

На практике условия простейшего потока не всегда строго выполняются. Часто имеет место нестационарность процесса (в различные часы дня и различные дни месяца поток требований может меняться, он может быть интенсивнее утром или в последние дни месяца). Существует также наличие последействия, когда количество требований на отпуск товаров в конце месяца зависит от их удовлетворения в начале месяца. Наблюдается и явление неоднородности, когда несколько клиентов одновременно пребывают на склад за материалами. Однако в целом пуассоновский закон распределения с достаточно высоким приближением отражает многие процессы массового обслуживания.

Кроме того, наличие пуассоновского потока требований можно определить статистической обработкой данных о  поступлении требований на обслуживание. Одним из признаков закона распределения Пуассона является равенство математического ожидания случайной величины и дисперсии этой же величины, т.е.

 

 

Одной из важнейших характеристик  обслуживающих устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания.

Время обслуживания одного требования ( )- случайная величина, которая может изменяться в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований (к примеру, различной грузоподъемности транспортных средств, поступающих под погрузку или выгрузку.

Случайная величина полностью характеризуется законом распределения, который определяется на основе статистических испытаний.

На практике чаще всего  принимают гипотезу о показательном законе распределения времени обслуживания.

Показательный закон  распределения времени обслуживания имеет место тогда, когда плотность распределения резко убывает с возрастанием времени t. Например, когда основная масса требований обслуживается быстро, а продолжительное обслуживание встречается редко. Наличие показательного закона распределения времени обслуживания устанавливается на основе статистических наблюдений.

При показательном законе распределения времени обслуживания вероятность  события, что время обслуживания продлиться не более чем t, равна:

 

 

где v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством, которая определяется из соотношения:

 

,    (1)

 

где - среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

Следует заметить, что если закон распределения времени обслуживания показательный, то при наличии нескольких обслуживающих устройств одинаковой мощности закон распределения времени обслуживания несколькими устройствами будет также показательным:

 

 

где n - количество обслуживающих устройств.

Важным параметром СМО  является коэффициент загрузки , который определяется как отношение интенсивности поступления требований к интенсивности обслуживания v.

     (2)

где a - коэффициент загрузки; - интенсивность поступления требований в систему; v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

Из (1) и (2) получаем, что

 

 

Учитывая, что  - интенсивность поступления требований в систему в единицу времени, произведение показывает количество требований, поступающих в систему обслуживания за среднее время обслуживания одного требования одним устройством.

Для СМО с ожиданием  количество обслуживаемых устройств n должно быть строго больше коэффициента загрузки (требование установившегося или стационарного режима работы СМО) :

 

.

В противном случае число поступающих требований будет больше суммарной производительности всех обслуживающих устройств, и очередь будет неограниченно расти.

Для СМО с отказами и смешанного типа это условие  может быть ослаблено, для эффективной  работы этих типов СМО достаточно потребовать, чтобы минимальное количество обслуживаемых устройств n было не меньше коэффициента загрузки : . [4, c. 110-112]

 

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

1.  Постановка задачи

 

На станцию технического обслуживания (СТО) согласно экспоненциальному закону со средним временем прибытия 14 мин прибывают автомобили для технического обслуживания (36% автомобили) и ремонта (64% автомобилей).

На СТО есть два  бокса для технического обслуживания и три бокса для ремонта. Выполнение простого, средней сложности и  сложного ремонтов - равновероятно.

Время и стоимость  выполнения работ по техническому обслуживанию и ремонту зависит от категории  выполняемых работ (табл. 2).

После технического обслуживания 12% автомобилей поступают для выполнения ремонта средней сложности.

Построить гистограмму  времени обслуживания автомобилей.

Оценить выручку СТО за пять дней работы.

 

Таблица 2.

Категория работ	Время ремонта, мин	Стоимость ремонта, руб
Техническое обслуживание	Равномерно распределено в интервале 10-55	Равномерно распределено в интервале 100-400
Простой ремонт	Равномерно распределено в интервале 12-45	Равномерно распределено в интервале 50-450
Ремонт средней сложности	Нормально распределено со средним 45 и среднеквадр-ым отклонением 5	Равномерно распределено в интервале 100-1400
Сложный ремонт	Равномерно распределено в интервале 80-150	Равномерно распределено в интервале 350-2550

 

Упрощенная схема объекта моделирования:

 

Рис.8 Схема моделирования работы станции технического обслуживания

2.2. Описание метода решения

2.2.1 Описание метода решения задачи вручную

Трудность решения задачи ручным методом состоит в огромном количестве расчетов, которые необходимо произвести. Учитывая это, мы моделируем работу СТО не в течение 5 дней, как указано это в условии задания, а берем небольшой промежуток времени.

В курсовой работе при  разработке модели работы СТО применены следующие виды распределения: равномерное и экспоненциальное.

Определим время прибытия автомобилей на СТО, которое имеет экспоненциальное распределение, и рассчитывается по следующей формуле:

 

u = - ln (g i) * λ, λ=1/14 маш. /мин (1)

где gi – это случайные числа.

С помощью алгоритмической генерации случайных чисел, используя метод средних квадратов, сгенерировали 30 случайных чисел, которые представлены в таблице 3.

Подставляя полученные случайные числа в формулу (1) получим  интервалы времени между поступлениями  общего потока автомобилей на СТО, и занесем данные в таблицу 3.

 

Таблица 3. (начало)

№	Случайные числа, g i	Время поступления  требований,	Блоки, на которые  поступают машины
1	0,0850	34,51	Тех.обслуживание
2	0,2369	20,16	Тех.обслуживание
3	0,3412	15,05	Тех.обслуживание
4	0,9304	1,01	Слож. ремонт
5	0,9716	0,40	Слож. ремонт
6	0,1184	29,87	Тех.обслуживание
7	0,2838	17,63	Тех.обслуживание
8	0,2065	22,08	Тех.обслуживание
9	0,0139	59,86	Тех.обслуживание+сред. ремонт
10	0,6523	5,98	Средний ремонт
11	0,4056	12,63	Простой ремонт
12	0,6892	5,21	Средний ремонт
13	0,8028	3,08	Слож. ремонт
14	0,1368	27,85	Тех.обслуживание
15	0,3270	15,65	Тех.обслуживание
16	0,6431	6,18	Средний ремонт
17	0,6446	6,15	Средний ремонт
18	0,8252	2,69	Слож. ремонт
19	0,2025	22,36	Тех.обслуживание
Таблица 3. (продолжение)
20	0,6429	6,18	Средний ремонт
21	0,9519	0,69	Слож. ремонт
22	0,1202	29,66	Тех.обслуживание
23	0,9800	0,28	Слож. ремонт
24	0,1061	31,41	Тех.обслуживание
25	0,1841	23,69	Тех.обслуживание
26	0,6490	6,05	Средний ремонт
27	0,0809	35,20	Тех.обслуживание
28	0,2589	18,92	Тех.обслуживание
29	0,9340	0,96	Слож. ремонт
30	0,4139	12,35	Простой ремонт