Балансовая модель

БАЛАНСОВАЯ  МОДЕЛЬ       

Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших  направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере  балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры. 

 

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ 

 

 

      Пусть рассматривается экономическая  система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).      

Обозначим через x_i валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через y_i – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).      

Таким образом, разность x_i - y_i  составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.      

Обозначим через x_ik  часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размерех_k. 

 

 

                                                                                                                    Таблица 1

      №                                потребление                             итого на        конечный   валовый 

       отрас.                                                                           внутре            продукт      выпуск                                                                                             

производ.          (  у_i  )               (   х_i  )   

№               1          2         …         k           …         n       потребление  

отрас.                                                                                    ( å х_ik  )

                       

1       х₁₁      х₁₂        …       х_1k           …         х_1n            å х_1k                   у₁                 х₁      

           

         2     х₂₁       х₂₂        …       х_2k          …         х_2n          å х_2k               у₂                х₂

                       

…    …        …        …        …          …         …              …                …                …

                         

i       х_i1       x_i2        …        x_ik         …          x_in            å x_ik               y_i                x_i

 

 

 
            

…    …        …        …        …         …          …              …                …                …

 

 

 
             

n      x_n1       x_n2       …        x_nk        …          x_nn           å x_nk              y_n                x_n

 

 

 
  

итого  

произв.

  затраты   å х_i1      å x_i2     …      å x_ik       …       å x_in 

в  k-ю  

отрасль

                                                                                                                         

Очевидно, величины, расположенные  в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами : 

 

 

       х₁ - ( х₁₁ + х₁₂ + … + х_1n ) = у₁              

х₂ - ( х₂₁ + х₂₂ + … + х_2n ) = у₂                   ( 1 )       

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        

x_n - ( x_n1 + x_n2 + … + x_nn ) = y_n 

 

 

      Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.      

Будем снабжать штрихом ( х^’_ik , y^’_i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.      

Будем называть совокупность значений y₁ , y₂ , … , y_n , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :       

_       

у = ( у₁ , у₂ , … , y_n ) ,    ( 2 ) 

 

а совокупность значений x₁ , x₂ , … , x_n ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом :        

_       

x = ( x₁ , x₂ , … , x_n ).      ( 3 ) 

 

 

      Зависимость между двумя этими  векторами определяется балансовыми  равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных х_k , содержат n²неизвестных x_ik , которые в свою очередь зависят от x_k.      

Поэтому преобразуем эти  равенства. Рассчитаем величины a_ik из соотношений : 

 

 

                x_ik       

a_ik = –––  ( i , k = 1 , 2 , … , n ).                 

x_k     

 

 

      Величины a_ik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты a_ik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что 

 

 

       x^’_ik        x_ik        

–––  = ––– = a_ik = const     ( 4 )              

x^’_k        x_k 

 

 

      Исходя из этого предложения  имеем 

 

 

       x_ik = a_ikx_k ,         ( 5 )  

 

 

  

 

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпускаx_k. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.      

Рассчитав коэффициенты прямых затрат a_ik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу 

 

 

                       a₁₁ a₁₂ … a_1k … a_1n                       

a₂₁ a₂₂ … a_2k … a_2n             

A=     ………………….                       

a_i1 a_i2 … a_ik … a_in                       

a_n1 a_n2 … a_nk … a_nn 

 

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы a_ik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.       

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1       

Подставляя значения x_ik = a_ik = x_k во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель : 

 

 

       x₁ - ( a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n ) = y₁       

x₂ - ( a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n ) = y₂                      ( 6 )       

……………………………………       

x_n - ( a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n ) = y_n   ,       

 

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1      

Система уравнений ( 6 ) может  быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:           

_        _    _       

Е·х - А·х = У , или окончательно                      

_     _       

( Е - А )·х = У ,            ( 6' ) 

 

где Е – единичная матрица n-го порядка и  

 

 

                     1-a₁₁   -a₁₂  …  -a_1n      

E - A=     -a₂₁   1-a₂₂ …  -a_2n                        

…………………                       

-a_n1    -a_n2 … 1-a_nn     

 

 

      Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( x_i и  y_i ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальныеn - переменных.       

Будем исходить из заданного  ассортиментного вектора У = ( y₁ , y₂ , … , y_n ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х₁ , х₂ , … х_n ).      

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей: 

 

 

                                          

 

 

  

 

 

                                                                                                                                        табл.2

 

 

 

         № отрас               Потребление              Итого           Конечный       Валовый     

 №                                                                           затрат           продукт          выпуск

 отрас                          1                         2

                                          

                                           0.2                      0.4                   

1               100                    160                  260                  240                    500 

 

 

 

 

                                           0.55                    0.1                 

2               275                     40                    315                  85                     400      

 

 

 

 
  

Итого затрат                                                                575  

в k-ю                       375                     200         

отрасль …                                                            575                            

 

  

 

 
      

Пусть исполнение баланса  за предшествующий период характеризуется  данными, помещенными в табл.2      

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:  

 

 

                100                       160                       275                           40       

а₁₁ = –––– = 0.2 ; а₁₂ = –––– = 0.4 ; а₂₁ = –––– = 0.55 ; а₂₂ = –––– = 0.1                 

500                       400                      500                          400 

 

 

      Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.