Переходные процессы в линейных электрических цепях. Электрические фильтры

     Министерство  образования и науки Республики Татарстан 

     Государственное бюджетное образовательное учреждение

     высшего профессионального образования

     Альметьевский государственный нефтяной институт 

     Кафедра электроэнергетики 
 

     КУРСОВАЯ РАБОТА

     По  дисциплине: «Общая электротехника»

     На  тему: «Переходные процессы в линейных электрических цепях. Электрические фильтры» 

     Вариант 15 
 
 
 

                                          Выполнил: Студент Лукманов Р.Р.

                                          группы 39-61

                                          Проверил: ассистент кафедры ЭЭ

                                          Смирнова С.И. 
 
 
 

Альметьевск, 2011 год

 
     

     

     СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ

     Часть 1. Переходные процессы в линейных электрических  цепях.

     Переходным  называется процесс, возникающий в электрической цепи при переходе из одного установившегося состояния в другой. Этот процесс называют переходным по той причине, что он связывает между собой два стационарных состояния электрической цепи: начальное и конечное. Коммутации происходят при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например ключей, переключателей для включения или отключения источника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях, при включениях и отключениях пассивных и активных ветвей, при внезапных изменениях параметров цепи и т.д.

     Физически переходные процессы представляют собой  процессы перехода от энергетического состояния, соответствующего докоммутационному режиму, к энергетическому состоянию, соответствующему послекоммутационному режиму.

     Переходный процесс в цепи описывается дифференциальным уравнением - неоднородным или однородным, если ее схема замещения содержит или не содержит источники ЭДС и тока. Переходный процесс в линейной цепи описывается линейными дифференциальными уравнениями, а в нелинейной - нелинейными. Ограничимся расчетом переходных процессов в линейных цепях, содержащих элементы с постоянными параметрами.

     Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами  существуют различные аналитические  методы: классический, операторный, метод  интеграла Фурье и др., которые  применяются и для расчета  переходных процессов. Рассмотрим применение только классического и операторного методов. Первый обладает физической

 

наглядностью и удобен для расчета  простых цепей, а второй упрощает расчет сложных цепей.

     Часть 2. Электрические фильтры.

     Электрические фильтры - это четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами. Они пропускают токи в определенной полосе частот с небольшим ослаблением (полоса пропускания или прозрачности), а токи с частотами, лежащими вне этой полосы-с большим ослаблением (полоса затухания или задерживания).

     Фильтрующие свойства четырехполюсника обусловлены  возникающими в них резонансными режимами- резонансами токов и  напряжений.

     Область частот, пропускаемых фильтром, называется полосой пропускания.

     В зависимости от полосы пропускания  различают: фильтры низких частот(ФНЧ), фильтры высоких частот(ФВЧ), избирательные(полосовые), заграждающие фильтры.

 

  ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

     Часть 1. Переходные процессы в линейных электрических  цепях

     В общем случае в электрической  цепи переходные процессы могут возникать, если в цепи имеются индуктивные и емкостные элементы, обладающие способностью накапливать или отдавать энергию магнитного или электрического поля. В момент коммутации, когда начинается переходный процесс, происходит перераспределение энергии между индуктивными, емкостными элементами цепи и внешними источниками энергии, подключенными к цепи. При этом часть энергии безвозвратно преобразуется в другие виды энергий (например, в тепловую на активном сопротивлении). После окончания переходного процесса устанавливается новый установившийся режим, который определяется только внешними источниками энергии.

     При отключении внешних источников энергии  переходный процесс может возникать  за счет энергии электромагнитного  поля, накопленной до начала переходного  режима в индуктивных и емкостных элементах цепи. Как и при расчёте установившихся режимов, для расчёта переходного процесса в электрической цепи все входящие в неё электротехнические устройства представляют соответствующими моделями, то есть схемами замещения, которые содержат резистивные, индуктивные и емкостные элементы, источники ЭДС и тока, а также коммутационные ключи.

     

     При рассмотрении переходных процессов  в линейных электрических цепях  с сосредоточенными параметрами  исключают нелинейный элемент –  электрическую дугу или искру, которая возникает на контактах переключателя во время коммутации. Для исключения влияния электрической дуги, принимают, что длительность коммутации по сравнению с продолжительностью переходного процесса очень мала, то есть теоретически мгновенная. При расчёте переходного процесса в электрической цепи допускают, что к моменту коммутации предыдущие переходные процессы закончились. Теоретически переходный процесс длится бесконечно большое время, но на практике можно считать, что он заканчивается, то есть в цепи возникает установившийся режим, через незначительное время. Время переходного процесса отсчитывается от момента коммутации.

     Изменения токов и напряжений вызывают одновременное  изменение энергии электрического и магнитного полей, связанных с элементами цепи – емкостями и индуктивностями. Однако энергия электрического и магнитного полей могут изменяться только непрерывно, так как  скачкообразное  изменение потребовало бы от источника бесконечно большой мощности. На этом рассуждении основаны два закона коммутации.

     Первый  закон коммутации. В любой ветви с индуктивностью ток не может измениться скачком и в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел непосредственно перед моментом коммутации и начинает изменяться именно с этого значения, то есть:

,

(1.1)

     где – значение тока в ветви с индуктивностью непосредственно после коммутации; - ток в индуктивности непосредственно перед коммутацией.

     Второй  закон коммутации. Напряжение на емкостном элементе (и заряд на её обкладках) сразу после коммутации сохраняет то значение, которое оно имело непосредственно перед моментом коммутации, то есть:

,

(1.2)

     где – напряжение на ёмкости непосредственно после моментом коммутации; – напряжение на ёмкости непосредственно перед моментом коммутации.

     

     Действительно, если допустить, что ток, протекающий  через индуктивный элемент, изменится скачком, то энергия магнитного поля на нём, которая прямо пропорциональна квадрату этого тока, тоже изменится скачком. Скачкообразное изменение напряжения на емкостном элементе, также приведёт к скачкообразному изменению энергии электрического поля внутри него, так как эта энергия прямо пропорциональна квадрату падению напряжения на этом элементе. Так как мощность равна первой производной от энергии по времени, изменение энергии на конечное значение за бесконечно малый промежуток времени потребует бесконечной большой мощности от источника. Это лишено физического смысла, потому что реальные источники питания не могут обеспечить бесконечно большие мощности.

     Существует  несколько методов расчёта переходных процессов в линейных электрических  цепях: классический, операторный, с  помощью интеграла Дюамеля, переменных состояния и т.д. Рассмотрим два из них: классический и операторный.

     1.Классический метод расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях

     

   Для анализа переходного процесса предварительно следует привести схему к минимальному числу накопителей энергии, исключив параллельные и последовательные соединения однотипных реактивных элементов (индуктивностей или емкостей). Система интегро-дифференциальных уравнений, составленных в соответствии с законами Кирхгофа или методом контурных токов, может быть сведена путем подстановки к одному дифференциальному уравнению, которое используется для составления характеристического уравнения. Порядок дифференциального, следовательно, и характеристического уравнения зависит от числа реактивных элементов приведенной схемы. Главная трудность в решения задачи классическим методом для уравнений высоких порядков состоит в отыскании корней характеристического уравнения и постоянных интегрирования. Поэтому для решения уравнений порядка выше второго применяют другие методы, в частности операторный метод, основанный на применении преобразования Лапласа и исключающий трудоемкую процедуру отыскания постоянных интегрирования. В классическом методе, пользуясь методом наложения (суперпозиции), который применим к линейным электрическим цепям, искомый переходный ток (переходное напряжение) рассматривают как величину, состоящую из принуждённой и свободной составляющих.

     Принуждённая составляющая тока (напряжения) физически представляет собой составляющую, которая создается только действующими в цепи источниками электрической энергии. Эта составляющая изменяется с той же частотой, что и принуждающий источник. Если в схеме действует принуждающая синусоидальная ЭДС или принуждающий синусоидальный ток, то принуждённая составляющая любого тока и любого напряжения в схеме является соответственно синусоидальным током или синусоидальным напряжением той же частоты. Если в схеме действует только источник постоянной ЭДС или источник постоянного тока, то принуждённый ток (принуждённое напряжение) есть постоянный ток (постоянное напряжение).

     Свободная составляющая тока (напряжения) вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрических и магнитных полях емкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, и энергией этих элементов при новом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следующий за коммутацией. Энергия этих элементов не может изменяться скачком, и её непрерывное изменение и обуславливает переходный процесс. Эта составляющая тока (напряжения) быстро затухает из-за необратимых потерь энергии на резистивных элементах.

     

     Так как свободный процесс – это  процесс, который происходит в цепи, освобождённой от вынуждающих источников энергии, при рассмотрении свободных процессов, в системе дифференциальных уравнений, записанных с помощью I и II законов Кирхгофа, правые части можно заменить нулями. А это значит, что свободная составляющая тока или напряжения есть общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, описывающего искомый переходный процесс. Как известно из курса математического анализа, решение неоднородного линейного дифференциального уравнения, является алгебраической суммой общего решения однородного линейного дифференциального уравнения и частного решения исходного неоднородного дифференциального уравнения. Так как полный переходный ток (полное переходное напряжение) есть алгебраическая сумма принуждённого и свободного составляющих, принуждённая составляющая тока (напряжения) есть частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс.

     Отсюда  получаем что, частное решение этого  дифференциального уравнения можно найти, вычислив принуждённую составляющую искомого тока или напряжения. Для нахождения этой составляющей рассчитывают исходную цепь в установившемся режиме после коммутации любыми известными методами: методом непосредственного применения I и II законов Кирхгофа, методом контурных токов, узловых потенциалов, символическим методом и т.д. Если в цепи действуют только источники постоянной ЭДС (постоянного тока), то следует учитывать, что постоянный ток через конденсатор не проходит. Также, при постоянном токе, протекающем через индуктивный элемент, падение напряжения на нём равно нулю. Следовательно, при расчёте принуждённых токов или напряжений, при постоянных принуждающих ЭДС и токов, в схемах замещения ёмкость можно заменить разрывом, а индуктивность простым проводом.

     Свободная составляющая, которая является общим  решением однородного дифференциального уравнения, которое, согласно курсу математического анализа, в зависимости от корней характеристического уравнения, записывается в виде:

     

     1) Если все корни характеристического  уравнения неравные между собой действительные числа:

,

(1.3)

       где  – постоянные интегрирования; – корни характеристического уравнения для линейного дифференциального уравнения, описывающего искомый переходный процесс;