Задачи по "Статистике"

 

Дисперсия равна

Среднее квадратическое отклонение равно

 

S = 113.

Тогда коэффициент вариации равен

v = 113/120 = 0,94 или 94%

Определим с вероятностью 0,954 пределы, в которых будет находиться среднее отклонений размеров от номинала.

Выборочная доля составляет

W = 30/120 = 0,25 или 25%.

Отсюда дисперсия доли равна:

σ²_w =W(1−W) = 0,25 * 0,65 = 0,1625

Тогда предельная ошибка выборки равна:

0,014

 

Определим возможные  границы удельного веса

Подставив имеющиеся  данные, получим

0,25 – 0,014<= <=0,25+0,014

0,236<= <= 0,264или 23,6% <= <= 26,4%

 

 

 

 

Задача №5.

 

Имеются следующие данные о розничном товарообороте одного из предприятий региона (млн.руб.):

мес.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
у	7,4	7,5	7,8	8,0	8,7	9,8	10,7	11,3	12,2	13,0	14,0	15,5

 

По данному ряду динамики требуется выполнить следующее:

1) найти все показатели  динамики (цепные, базисные, средние);

2) выполнить сглаживание  ряда методом 3-х членной скользящей средней;

3) провести аналитическое  выравнивание ряда динамики по параболе второго порядка;

4) сделать точечный  и интервальный прогноз по  полученному уравнению тренда;

5) изобразить графически  первичный и выравненный ряд.

 

Решение:

 

1)

1.1) Проведем расчет цепных и базисных показателей динамики объема розничного товарооборота (y) по следующим формулам:

 

Показатель	Базисный	Цепной
Абсолютный прирост (Δ)	Yi – Yo	Yi – Yi-1
Коэффициент роста (Кр)	Yi / Yo	Yi / Yi-1
Темп роста (Тр)	(Yi / Yo)∙100	(Yi / Yi-1)∙100
Темп прироста (Тпр)	Тр – 100	Тр – 100
Абсолютное значение 1% прироста (А)	Yo / 100	Yi-1 / 100

 

 

 

Расчеты проведем в табличной форме:

	Месяцы
Показатель	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
у	7,4	7,5	7,8	8	8,7	9,8	10,7	11,3	12,2	13	14	15,5
Δ:
базисный	–	0,1	0,3	0,2	0,7	1,1	0,9	0,6	2,5	0,8	1	1,5
цепной	–	0,1	0,4	0,6	1,3	2,4	3,3	3,9	4,8	5,6	6,6	8,1
Кр
базисный	–	1,01	1,04	1,03	1,09	1,13	1,09	1,06	1,08	1,07	1,08	1,11
цепной	–	1,01	1,05	1,08	1,18	1,32	1,45	1,53	1,65	1,76	1,89	2,09
Тр, %
базисный	–	101,35	104,00	102,56	108,75	112,64	109,18	105,61	107,96	106,56	107,69	110,71
цепной	100	101,35	105,41	108,11	117,57	132,43	144,59	152,70	164,86	175,68	189,19	209,46
Тпр, %
базисный	–	1,35	4,00	2,56	8,75	12,64	9,18	5,61	7,96	6,56	7,69	10,71
цепной	–	1,35	5,41	8,11	17,57	32,43	44,59	52,70	64,86	75,68	89,19	109,46
А
базисный	–	0,075	0,078	0,08	0,087	0,098	0,107	0,113	0,122	0,13	0,14	0,155

 

 

1.2) Проведем расчет средних показателей динамики объема розничного товарооборота (y).

Средний уровень ряда:

=

Средний абсолютный прирост:

= Δ_баз / (n – 1) = 8,1 / 11 = 0,73 (млн. руб.).

Средний темп роста:

= ∙100 = ∙100 = 1,06%.

Средний темп прироста:

= – 100 = 1,06 – 100 = -98,94% в месяц.

2) Основную тенденцию  развития динамического ряда  – тренд – непосредственно выделяем методом скользящей средней. Исходные уровни ряда заменяем средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких его окружающих. По заданию имеем нечетный интервал сглаживания. Основной недостаток сглаживания скользящими средними состоит в условном определении сглаженных уровней в начале и конце ряда.

Для сглаживания методом 3-х членной скользящей средней  имеем следующие формулу расчета для начальной точки:

.

Для последующих точек:

.

Для последней точки  ряда расчет симметричен сглаживанию  в начальной точке.

Расчет производим в  табличной форме:

 

мес.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
у	7,4	7,5	7,8	8	8,7	9,8	10,7	11,3	12,2	13	14	15,5
усгл	7,37	7,57	7,77	8,17	8,83	9,73	10,6	11,4	12,1	13,0	14,1	9,83

 

3) Выделение  тренда можно произвести методом  аналитического выравнивания. Такое  выравнивание дает наиболее общий,  суммарный, проявляющийся во времени  результат действия всех причинных факторов.

Заданный ряд не проявляет  устойчивых тенденций изменения  абсолютных цепных приростов, поэтому аналитическое сглаживание целесообразно проводить по линейной зависимости f(t) = a₀ + a₁t. Оценку параметров линейной трендовой модели проводим методом наименьших квадратов.

 

Мес.	y	y - yср	(y – yср)2	t	y∙t	t2	y(t)	y(t) - yср	(y(t) - yср)2
1	7,4	-3,1	9,61	-11	-81,4	121	7,37	-3,4	11,56
2	7,5	-3	9	-9	-67,5	81	7,57	-3,3	10,89
3	7,8	-2,7	7,29	-7	-54,6	49	7,77	-2,9	8,41
4	8	-2,5	6,25	-5	-40	25	8,17	-2,7	7,29
5	8,7	-1,8	3,24	-3	-26,1	9	8,83	-2	4
6	9,8	-0,7	0,49	-1	-9,8	1	9,73	-1,2	1,44
7	10,7	0,2	0,04	1	10,7	1	10,6	0	0
8	11,3	0,8	0,64	3	33,9	9	11,4	0,6	0,36
9	12,2	1,7	2,89	5	61	25	12,17	1,4	1,96
10	13	2,5	6,25	7	91	49	13,07	2	4
11	14	3,5	12,25	9	126	81	14,07	3,1	9,61
12	15,5	5	25	11	170,5	121	9,83	4,7	22,09
	S125,9		S82,95		S213,7	S572	S122,3		S81,61
	yср: 10,5		Ср.: 6,9						Ср.: 6,8

 

Получаем:

а₀ = 122,3 / 12 = 10,2

а₁ = 213,7 / 572 = 0,4.

Таким образом,

f(t) = y_t = 10,5 + 0,4t (для t = -11, -7, … , 7, 11) или

f(t) = y_t = 7,1 + 0,8t (для t = 0, 1, 2, …, 11).

Параметры последнего уравнения  регрессии можно интерпретировать следующим образом:

а₀ = 10,5 – есть исходный уровень товарооборота за период до рассматриваемого базисного;

а₁ = 0,4 – показатель силы связи, то есть за рассматриваемый период уровень товарооборота ежемесячно увеличивался на 0,8 млн. руб.

4) Производим оценку  надежности уравнения регрессии:

Фактический критерий Фишера:

Таким образом, F_теор=4,96 (значение таблично) при уровне значимости a = 0,05 , степенях свободы  n₁ = k – 1 = 2 – 1 = 1 ,  n₂ = n – k = 12 – 2 = 10.

Имеем F_факт = 13,11 > F_теор = 4,96, следовательно, полученное уравнение прямой адекватно отражает сложившуюся в исследуемом ряду динамики тенденцию.

5)

Рис. 3. Совмещенные  график ряда динамики,

сглаженный  график динамики ряда,

линия тренда (аналитическое выравнивание)

 

Выводы:

 

1) Из графика динамики  следует, что объем розничного  товарооборота за исследуемый период имеет устойчивую тенденцию роста. 

2) Анализ графика динамики позволяет сделать прогноз на дальнейшее увеличение объема товарооборота грузоперевозок на 0,8 млн. руб. ежемесячно.

 

Задача №6.

 

Предположим, имеется  следующее распределение 40 выборочно обследованных автомобильных шин по пробегу:

 

Пробег шин, тыс. км	Число шин
50 – 52	2
52 – 54	6
54 – 56	18
56 – 58	10
58 – 60	3
60 – 62	1
Итого	40

 

А) исходя из гипотезы о нормальном распределении, рассчитать теоретические частоты в данном ряду.