LC-четырехполюсник в виде П-образного звена

Задание к курсовой работе:

Для согласования R_н с R_г на частоте f₀ = 4МГц используется LC-четырехполюсник в виде П-образного звена (рис.1.1). R_г = 200 Ом, R_н = 50 Ом.

1. Определить схему 4-хполюсника и найти параметры L и C для обеспечения согласования на частоте f₀.
2. Определить АЧХ, ФЧХ цепи и переходную характеристику.
3. Определить мощность на нагрузке при использовании согласующего                 4-хполюсника и без него.
4. Подать от источника периодическую последовательность импульсов прямоугольной формы с амплитудой где T – период следования импульсов. Определить спектры входного и выходного сигналов.
5. Моделированием на EWB подтвердить результаты пунктов 2 и 4.

рис. 1.1. Задание.

2

Задание 1

Определить схему 4-хполюсника и найти параметры L и C для обеспечения согласования на частоте f₀.

Для обеспечения согласованного режима работы 4-хполюсника необходимо:

                                                                                 (1.1)

                                                                                  (1.2)

где и – характеристические входное и выходное сопротивления 4-хполюсника, которые определяются через его А-параметры по формулам:

                                                                       (1.3)

                                                                       (1.4)

Представим П-образный 4-хполюсник в виде каскадного соединения двух Г-образных:

рис. 1.2. Каскадное соединение двух Г-образных 4-хполюсников вместо одного П-образного.

Рассмотрим первый Г-образный четырехполюсник  в качестве фильтра нижних частот (ФНЧ) (рис. 1.3). Определим, интересующие нас, его свойства.

рис. 1.3. Фильтр нижних частот.

3

Известно, что Г-образное звено (рис. 1.3) такого фильтра имеет характеристическое (волновое) сопротивление  и зависящие от соотношения частот ( – частота среза – частота, разделяющая полосу пропускания и задерживания фильтра) выходные сопротивления со стороны клемм ПП’ и ТТ’ соответственно:

                                                                 (1.5)

                                                                         (1.6)

Стоит отметить, что в полосе прозрачности оба сопротивления (1.5) и (1.6) носят  активный характер (когда ). Если нагрузить Г-образное звено со стороны клемм ПП’ сопротивлением , то со стороны клемм ТТ’ входное сопротивление фильтра . Параметры звена, исходя из условий согласования, на частоте определяются из следующих выражений:

                                                              (1.7)

и                                                            (1.8)

Таким образом, правое звено (рис. 1.2) уменьшает R_н до некоторого R_т, а левое – увеличивает сопротивление R_т до требуемого значения R_г.

Для нахождения параметров L₁ и C₁ нужно выбрать частоту среза f_ср. Поскольку в остальных заданиях не требуется получить какую-либо «особую» КЧХ, то возьмем   f_ср = 4.5МГц.

Расчет первого  звена (рис. 1.3):

                                                                              (1.9)

                                                                         (1.10)

(1.9) и (1.10) – номиналы  элементов первого звена.

Расчет второго звена (рис. 1.4):

4

                                                                          (1.11)

                                                                        (1.12)

(1.11) и (1.12) – номиналы  элементов второго звена.

рис. 1.4. Фильтр нижних частот (второе звено).

Таким образом, получаем 4-хполюсник (рис. 1.5) с номиналами элементов:

рис. 1.5. Искомый 4-хполюсник.

Выполним  проверку полученных результатов:

А-параметры для полученного 4-хполюсника (рис. 1.5) имеют вид:

5

 , где

Тогда:

С учетом (1.3) и (1.4) найдем характеристические сопротивления:

,

.

Условия согласования (1.1) и (1.2) выполняются на требуемой частоте, значит 4-хполюсник в виде П-образного звена подобран правильно. Через полученный 4-хполюсник будет осуществляться передача наибольшей мощности от источника к нагрузке.

6

Задание 2

Определить АЧХ, ФЧХ цепи и переходную характеристику.

Определим АЧХ  и ФЧХ:

Для нахождения АЧХ и ФЧХ  определим комплексную частотную  характеристику:

                                                                       (2.1)

Определим , используя эквивалентную схему замещения (рис. 2.1):

1. Параллельное соединение емкости C₁ и сопротивления R_н:

;

2. Последовательное соединение индуктивности L и :

;

3. Параллельное соединение емкости С₂ и :

;

После преобразований 1-3 цепи получаем цепь, изображенную на рис. 2.2:

рис. 2.2. Преобразованная схема замещения.

                                             (2.2)

                        (2.3)

Учитывая формулу (2.1), получаем формулу для КЧХ:

                                                                    (2.4)

7

Тогда, АЧХ определяется

                                                ,

а ФЧХ:

                                                .

Построим  теоретические графики АЧХ и  ФЧХ:

1. АЧХ (рис. 2.3)

рис. 2.3. График амплитудно-частотной характеристики цепи.

2. ФЧХ (рис. 2.4)

рис. 2.4. График фазо-частотной характеристики цепи.

Построим  практические графики АЧХ и ФЧХ  с помощью программы EWB:

1. АЧХ (рис. 2.5)

рис. 2.5. График амплитудно-частотной характеристики цепи, полученный с помощью программы EWB.

2. ФЧХ (рис. 2.6)

рис. 2.6. График фазо-частотной характеристики цепи, полученный с помощью программы EWB.

8

Определим переходную характеристику цепи:

В силу сложности цепи (не второго порядка) составить, а затем  и решить дифференциальное уравнение  не представляется возможным. Поэтому  воспользуемся операторным методом и возможностями программы MathCad.

Операторное изображение  переходной характеристики имеет вид:

,                                                                            (2.5)

где – операторная характеристика цепи. Ее можно получить из КЧХ (2.4) формальной заменой на :

                          (2.6)

Выполнив обратное преобразование Лапласа, получим переходную характеристику (на рис. 2.7 изображен ее график):

рис. 2.7. График переходной характеристики (теория).

Смоделировав исследуемую  цепь в программе EWB и подключив соответствующий источник, построим практический график (рис. 2.8).

9

рис. 2.8. График переходной характеристики (практика).

Обратимся к графику амплитудно-частотной  характеристики цепи (рис. 2.3 и 2.5). На частоте  сопротивление индуктивности L стремиться к нулю (проводник), а сопротивление емкостей C₁ и С₂ – к бесконечности (разрыв), поэтому вся мощность передается от источника к нагрузке и КЧХ равна . На частоте рад/с заметно увеличение АЧХ, так как именно на этой частоте в задании 1 был рассчитан согласующий 4-хполюсник. При согласовании происходит передача наибольшей мощности от источника к нагрузке, что мы и видим на графиках АЧХ.

На рис. 2.7 и 2.8 изображены графики переходной характеристики исследуемой цепи. Так как цепь содержит и индуктивность, и емкость, то вначале возможны колебания, однако, из-за то, что потери в цепи большие, колебания быстро затухающие. Видно, что колебания практически затухают за 10^-6 секунд. После окончания переходных процессов значение h(t) установиться равным 0.2: емкости зарядятся, и ток через них течь не будет, индуктивность при постоянном напряжении – это проводник, .

10

Задание 3

Определить мощность на нагрузке при использовании согласующего 4-хполюсника и без него.

Для вычисления мощности нам  необходимо знать напряжение источника, примем амплитудное значение напряжение В, и дальнейшие вычисления проведем относительно этого E.

Полная мощность, выделяемая на нагрузке, в комплексной форме  определяется:

.                                                        (3.1)

Определим мощность при использовании согласующего 4-хполюсника:

рис. 3.1. Схема с согласующим 4-хполюсником.

Напряжение на нагрузке уже  было определено во втором задании (2.3), поэтому по закону Ома ток через  нагрузку будет равным:

                                                                    (3.2)

Тогда мощность будет:

                      (3.3)

Определим мощность без использования согласующего 4-хполюсника (рис. 3.2):

рис. 3.2. Схема без согласующего 4-хполюсника.

Найдем ток и напряжение на нагрузке:

                                              ,

                                              ,

тогда мощность будет равна:

11

                                      (3.3)

Несмотря на согласованный  режим работы 4-хполюсника, мощность передаваемая от источника к нагрузке больше без использования 4-хполюсника. Это обусловлено тем, что любой 4-хполюсник характеризуется вносимым затуханием, и часть мощности тратится внутри 4-хполюсника. Однако при согласованном режиме работы 4-хполюсника коэффициенты отражения становятся равными 0:

,

.

12

Задание 4

Подать от источника  периодическую последовательность импульсов прямоугольной формы  с амплитудой U₀=2 В, f=400кГц, t_и=Т/4, где Т – период следования импульсов. Определить спектры входного и выходного сигналов.

Определим спектр входного сигнала (рис. 4.1):

рис. 4.1. Входной сигнал.

Для этого сначала найдем спектральную плотность одиночного прямоугольного импульса с амплитудой U₀ и длительностью t_и, расположенного симметрично относительно начала координат:

                                (4.1)

Определим T и t_и:

Заменив w на и используя связь между спектром периодического и непериодического сигналов, получим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов:

                                                                          (4.2)

В таблице 4.1 для наглядности  представлены коэффициенты C_n, фазы и соответствующие частоты . Амплитудно-частотный спектр входного сигнала изображен на рис. 4.2, а фазо-частотный спектр – на рис. 4.3.

13

рис. 4.2. АЧС входного сигнала.

рис. 4.3. ФЧС входного сигнала.

табл. 4.1. Спектр входного сигнала.

14

Определим спектр выходного сигнала:

Спектры входного и выходного  сигналов связаны соотношением:

                                                            (4.3)

 определяется согласно формуле (2.4).

В таблице 4.2 представлены входной  и выходной спектры в комплексной  форме, а также значения комплексной  частотной характеристики на дискретных частотах . На рисунках 4.4 и 4.5 представлены графики АЧС и ФЧС выходного сигнала соответственно.

табл. 4.2. Спектр входного и выходного сигналов, КЧХ.

15

рис. 4.4. АЧС выходного сигнала.

рис. 4.5. ФЧС выходного сигнала.

Выходной сигнал можно  определить по формуле:

       (4.4)

График выходного сигнала  изображен на рисунке 4.6.

рис. 4.6. График выходного сигнала в сравнении с входным сигналом.

Подтвердим  результаты вычислений с помощью  программы EWB:

Смоделируем исследуемую  цепь в программе Electronics Workbench и определим спектры входного (рис. 4.7) и выходного сигналов (рис. 4.8), а также построим графики входного и выходного сигналов (рис. 4.9).

16

рис. 4.7. АЧС (вверху) и ФЧС (внизу) входного сигнала, полученные в EWB.

рис. 4.8. АЧС (вверху) и ФЧС (внизу) выходного сигнала, полученные в EWB.

рис. 4.8. Входной (В) и выходной (А) сигналы, полученные в EWB.

Получили АЧС и ФЧС  входного и выходного сигналов, а  также собственно выходной сигнал на одном графике с входным. Результаты расчетов были подтверждены практически – с помощью программы EWB. Прямоугольный импульс можно представить суммой двух противоположных по знаку перепадов () с разницей во времени t_и. На рис. 4.6 и 4.8 видно, что после первого перепада (+) переходный процесс еще не успевает закончиться, как происходит второй перепад (-). За время до следующего перепада (+) переходный процесс успевает закончиться.

17

Вывод:

В ходе данной работы были подобраны  элементы LC-4-хполюсника в виде П-образного звена для обеспечения согласования источника и нагрузки на требуемой частоте f₀=4МГц, изучены частотные характеристики (КЧХ, спектр), временные характеристики (переходная характеристика). При использовании согласующего 4-хполюсника и без него была определена мощность, выделяемая на нагрузке. Получили, что без согласующего 4-хполюсника мощности выделяется больше, но при использовании – коэффициенты отражения со стороны входа и выхода равны 0. Этот результат является более важным, так как сигнал на выходе согласующего 4-хполюсника можно усилить, а отражение может нанести вред нагрузке или источнику (вместо них может быть другой участок цепи). Также определили выходной сигнал спектральным методом при условии, что на вход подается последовательность прямоугольных импульсов.

18