Кривые и поверхности второго порядка

Международный университет природы, общества и  человека «Дубна»

Филиал «Угреша»

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

 

по линейной алгебре и аналитической геометрии 

 

Кривые и  поверхности второго порядка

 

 

Вариант 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент группы

 

Руководитель: доцент, к.ф.-м.н.

Фаркова Наталья Анатольевна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дзержинский

2010 г.

Содержание

 

 

 

Цель курсовой работы

 

Целью курсовой работы является закрепление  и углубление студентом полученных теоретических знаний и технических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.

 

Задания для курсовой работы

 

Задание 1. Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром :

1. С помощью инвариантов определить зависимость типа кривой от значений параметра .
2. При значении привести данное уравнение кривой к каноническому виду, применяя  преобразования параллельного переноса и поворота. Построить кривую в канонической системе координат.
3. При нескольких значениях параметра   построить кривые, определяемые данным  уравнением.

Задание 2.   Для данного уравнения поверхности второго порядка:

1. Определить тип поверхности (с помощью инвариантов).

2. Привести уравнение к каноническому  виду.

3. Исследовать форму поверхности  методом сечений.

4. Построить поверхность в канонической  системе координат.

 

Метод решения:

 

1. Находим по каноническому виду  уравнения инварианты.

2. Выбираем по этим инвариантам  коэффициенты алгебраического уравнения  кривой или поверхности второго  порядка и получаем само уравнение.

3. Классифицируем полученную кривую  при различных a. Строим графики при различных a.

4. Приводим полученное алгебраическое уравнение кривой или поверхности второго порядка обратно к каноническому.

5. Строим кривую и поверхность  второго порядка по каноническому  и алгебраическому уравнению  в общей декартовой и в канонической  системах координат  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №1

 

Дано уравнение кривой второго порядка:

.

 

Общий вид кривой второго порядка  в прямоугольной системе координат:

 

Для данной кривой:

 

1.1 Вычисляем значения инвариантов:

 

Получаем значения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Произведем классификацию прямых:

 

1) Эллипс получается  при 

 

    

    

 

Получаются решения неравенства:

 

Таким образом, кривая второго порядка  будет являться эллипсом при

 

 

2) Мнимый эллипс, при 

 

 

данное неравенство решения не имеет, а кривая не может являться мнимым эллипсом

 

 

 

 

 

 

3) Две мнимые пересекающиеся  прямые (точка), при

 

 

Система решений не имеет, а, следовательно, кривая не может являться мнимыми пересекающимися прямыми.

 

4) Гипербола, при 

 

 

кривая будет являться гиперболой при 

5) Две пересекающиеся  прямые, при 

 

 

Таким образом, кривая будет являться двумя пересекающимися прямыми  при 

6) Парабола, при

 

 

кривая будет являться параболой, при

 

Получаем классификацию  прямых:

 

1. Эллипс, при 
2. Парабола, при
3. Гипербола, при
4. Две пересекающиеся прямые, при

 

1.3. При =1 кривая представляет собой гиперболу. Приведем ее к каноническому виду:

  (1)

 

1) Сначала произведем  сдвиг координат:

    (x₀,y₀) – координаты центра

 

 Подставим в уравнение (1):

 

 

 

2) Потребуем выполнения условий :

 

 

- центр кривой

 

 Подставляем в уравнение  (2):

 

    (3)

 

3) Делаем поворот осей  координат:

 

 

 

Подставляем в уравнение (3):

 

 

Собираем подобные слагаемые:

В каноническом виде

 

Делим на cos² :

 

Выбираем угол =arctg(1)=45^о

Вычисляем:

 

Получаем каноническое уравнение:

 

 

1.4 Построение графиков кривых:

 

1) Гипербола в канонических  координатах

 

2) Эллипс, при .

Возьмем =3

3) Парабола, при

4)Гипербола, при 

Возьмем =1

 

5) Две пересекающиеся  прямые, при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №2

 

Дано уравнение поверхности  второго порядка:

 

Общий вид поверхности второго порядка в системе координат :

 

Для данной поверхности:

 

 

 

2.1 Вычисляем значения инвариантов:

 

 

Получили основные инварианты уравнения:

 

Характеристическое уравнение  поверхности второго порядка  имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Ищем корни характеристического уравнения:

 

НОД чисел 6 и 32 – числа 2 и -2

Подставим = -2 в данное уравнение:

 

Разделим уравнение на

 

 

Получаем уравнение:

Корни ₁= ₂=4, ₃=-2

 

При I₃≠0 каноническое уравнение принимает вид

В данном случае:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3 Исследование формы поверхностей методом сечений:

1)

В сечении получаются окружности радиуса , h = 1,2,..,7

 

 

 

 

Радиусы окружностей увеличиваются  по мере роста координаты Z

 

 

 

 

 

 

2) Пусть , тогда

 

 

3) Пусть , тогда

Вывод

 

Цель курсовой работы достигнута. Мы научились:

1. приводить уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, моделировать поведение кривой при различных a,строить графики кривых второго порядка;

 

2. определять тип поверхности второго порядка при помощи инвариантов, приводить уравнение поверхности к каноническому виду, исследовать её форму методом сечений и строить график поверхности второго порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

 

1. Фаркова Н.А.  Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Кривые и поверхности второго порядка. Международный университет природы, общества и человека «Дубна» Филиал Угреша. г. Дзержинский,  2004
2. Бугров Я.С.,  Никольский С. М. Высшая математика – М:Дрофа, 2006
3. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. М.: Изд-во МГУ,1969
4. Материалы сайта http://mathserfer.com/theory/pyartli1/node37.html