Целевые функции и критерии, используемые при имитационном моделировании

Предположим, что необходимо спланировать выпуск продукции, товаров  или услуг. Для краткости здесь  и далее будем называть это  планированием объемов выпуска продукции.

Сформируем для данной задачи принципы содержательной оптимизации  в следующем виде.

Принцип 1. Планирование объемов выпуска продукции должно исходить из потребности, достижение которой — конечная цель данного объекта или системы.

Принцип 2. Достижение объемов выпуска продукции, соответствующих потребности, должно осуществляться пропорционально, т.е. степень удовлетворения потребностей по видам продукции должна быть примерно одинакова для каждого планового периода или точки замера. Всякому плановому периоду должны соответствовать заданный уровень выпуска продукции или степень удовлетворения потребностей.

Принцип 3. При составлении плана необходимо учитывать степень и рациональные нормативы использования имеющихся ресурсов.

Принцип 4. План выпуска продукции должен быть в каждом плановом периоде сбалансированным, т.е. построенным с учетом выделенных ресурсов.

Модель, удовлетворяющая  названным принципам, может выглядеть  таким образом. Первый принцип будет  выполнен, если в качестве цели плана  положить достижение определенной степени  удовлетворения потребности. Если P —  потребность в выпуске продукции, не ограниченная плановым периодом, то можно задать ряд P1, P2, -, Pj, -,Р, каждый член которого отображает уровень потребления, принятый для определенного планового периода. Ряд должен быть возрастающим с насыщением. Уровень насыщения ограничивается величиной Р.

Потребность P — обычно не постоянная величина. Она изменяется в зависимости от большого числа факторов, поэтому уровень насыщения потребности P также изменяется. Как правило, он возрастает. Поскольку P не постоянная величина, то степень отклонения фактического уровня выпуска продукции от нормативного в общем случае при переходе от одного планового периода к другому не всегда будет уменьшаться. Исходя из сказанного, выберем первой целевой функцией модели следующее выражение:

 

Где,  P{.F,t) — потребность  в выпуске продукции, зависящая от совокупности факторов F и времени /;

Ps — уровень потребления  продукции, соответствующий совокупности  факторов Fs и периоду планирования Ts,

S — номер уровня, характеризующий  величину потребления Ps.

Это выражение удовлетворяет первому принципу программно- целевого управления, так как минимизирует отклонения фактического уровня потребления продукции от нормативного. При данной целевой функции планируемая система будет выдерживать оптимальную траекторию движения в направлении достижения потребности P(F,t), несмотря на ее возможные изменения. Покажем на примере, как формируется траектория движения деятельности данного объекта для P(F, t) = const.

Случай S= 1. При s = 1 имеется первый уровень удовлетворения потребности, который характеризуется точкой C,(t, T1)

Здесь минимум отыскивается по совокупности значений факторов F1 , задающих лимиты капиталовложений (централизованные, нецентрализованные, пр.), возможные  приросты мощностей и производственных площадей, возможности освоения капиталовложений и спрос на продукцию. Совокупность перечисленных факторов определяет значение P1 (F1, T1), от которого зависит величина отклонения плана на момент T1 от потребности.

Случай S = 2. При 5 = 2 отклонение плана на период T₂ от потребности получается из выражения

Значение  на период планирования T₂определяется по аналогии. Таким же образом можно найти последующие значения C_s(t,T_s). Траектория движения данного объекта планирования показана на рис. 2.2.4.

Дальнейшее формирование имитационной целевой функции удобнее осуществить на конкретном примере. Выберем в качестве объекта планирования отрасль ремесленного хозяйства — бытовое обслуживание населения. В нем существуют 20 групп бытовых услуг: пошив и ремонт одежды, пошив и ремонт обуви, химчистка, парикмахерские, ремонт жилья и т.п. Обозначим вид услуги через i, Тогда через H_j и b_i обозначим соответственно нормативный и фактический уровни потребления г'-й услуги на душу населения в определенном регионе. Величина H_j — bj — степень недопотребления z'-й услуги на душу населения, а значение (H_i — b )/H_i — степень относительного недопотребления. В этой связи второй принцип — принцип пропорциональности можно записать так:

т.е. как уже ранее  рассмотренную целевую функцию  пропорциональности.

Содержательное значение этого принципа — обеспечение равенства степеней относительного недопотребления по видам услуг.

Для привязки принципа пропорциональности к модели планирования объемов бытовых  услуг введем обозначения, принятые для первой целевой функции, и  изменим формулу задания принципа пропорциональности, а именно: H₁г обозначим через , через , где

—потребность в услуге i-го вида, определенная совокупностью факторов — уровень потребления i-го вида услуг на период планирования T_s, определенный совокупностью факторов ; s — номер уровня потребления. Формула пропорциональности для задач планирования может иметь вид , где — степень относительного удовлетворения потребностей.

Содержательное значение данной функции — обеспечение  пропорциональности относительного удовлетворения потребностей по видам услуг. Такая форма задания пропорциональности более удобна для планирования. Поскольку требование пропорциональности задает определенный и одинаковый уровень бытового обслуживания по услугам, то величина уровня потребления услуг

может быть найдена из выражения 

Задавая различные значения уровня степени относительного удовлетворения потребностей

, можно получать различные значения  , т.е. итерационным путем рассчитать уровень потребления каждого вида услуг на период T_s, отвечающий заданным факторам (ограничениям)

Практические соображения, однако, не позволяют применять во всех случаях целевую функцию (2.2.5) в связи с тем, что она игнорирует существующий уровень потребления  бытовых услуг. Действительно, выражение (2.2.5) содержит только два члена — норматив и проектируемый уровень с индексом s. От этого недостатка свободна целевая функция следующего вида:

где — предыдущий уровень потребления -го вида услуг, т.е. уровень  потребления услуг периода T₅ 

В этом случае уровень потребления в плановом периоде сопоставляется с исходным уровнем. Вместе с тем в данном выражении не присутствует норматив, т.е. утрачена связь с целевой функцией (2.2.1). Отсутствие в функции (2.2.7) норматива приводит к тому, что в модель закладывается не рациональная структура услуг, соответствующая нормативным значениям H₁, H₂,..., H_n, а фактически сложившаяся в период T_s. Сложившаяся структура должна быть скорректирована таким образом, чтобы в новом плановом периоде она более отвечала нормативным значениям. Для этого вводятся специальные нормативные коэффициенты, учитывающие расстояние между нормативом и исходным уровнем:

Где — параметры, задаваемые экспертными оценками.

В общем случае — решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и многими переменными. Такими переменными могут быть значения b_js,t и т.п. Скорректируем выражение (2.2.7) коэффициентами (2.2.8) и получим систему уравнений

Система (2.2.9) свободна от недостатков целевых функций (2.2.5) и (2.2.7), так как учитывает исходный уровень развития бытовых услуг и обеспечивает с помощью коэффициентов K_is большую приоритетность тех видов услуг, которые развиты слабее других относительно норматива. Корректировка имеет явно переходный характер в связи с тем, что при достижении уровня s = S_k значения становятся равными единице, и, следовательно, корректировка прекращается. Номер уровня S_kлегко рассчитать. Обычно K_is 1, однако в некоторых случаях, когда фактический уровень выше нормативного, значение K_is следует принимать равным единице.

Система уравнений (2.2.7), хотя и соответствует первым двум принципам планирования, все же не отвечает еще одному требованию. Дело в том, что каждый вид услуг, кроме  нормативного уровня потребления, имеет  еще характеристику предпочтительности развития данной услуги по отношению к другим видам. Поясним сказанное на примере. Предположим, что норматив потребления услуг по ремонту радиоаппаратуры H_pja= 6 руб./чел., а услуг по переработке сельхозпродуктов H_cx= 5 руб./чел. Пусть также фактические уровни потребления этих услуг Ь_рта =3 руб./чел., а Ь_сх =2,5 руб./чел. В этом случае степени удовлетворения этих видов услуг одинаковы, т.е.

Какая же услуга при этом имеет приоритет в развитии? Можно  ли сказать, что эти услуги имеют  одинаковый приоритет с точки зрения развития в будущем? Видимо, нет. Услуги могут быть разной степени прогрессивности или разной степени насущности. Для данного примера, по нашему мнению, большей прогрессивностью обладают услуги по ремонту радиоаппаратуры.

Чтобы учесть характеристику прогрессивности или настоятельности услуги, введем показатель предпочтительности развития услуги \|t_is, являющийся нормированной экспертной оценкой и удовлетворяющий условию

Введение ψ_(ί целесообразно осуществить совместно с введением K_is. В этом случае уравнения из системы (2.2.9) будут выглядеть следующим образом:

Рассмотрим теперь методы учета степени использования  ресурсов и нормативы их использования. Выберем в качестве основного  показателя, учитывающего использование  ресурсов, прирост объемов услуг на душу населения без затрат капиталовложений, т.е. AP_is. Введем значения AP_is в уравнение (2.2.10):

Уравнение (2.2.11) обеспечивает корректировку планируемого уровня потребления услуг с учетом имеющихся  резервов по использованию мощностей. В первом приближении такой подход обеспечивает выполнение третьего принципа программно-целевого управления.

Реализация четвертого принципа — принципа сбалансированности может быть обеспечена при пошаговой  процедуре расчета значений b_is{F*, T_s) и потребности в капиталовложениях S_ii при изменении степени удовлетворения потребностей в пределах

Значение W₀( F*, T_s), соответствующее сбалансированному лимиту капиталовложений L_s, в рассматриваемой модели получается при реализации метода наискорейшего спуска с переменным шагом. Поиск выполняется до обеспечения неравенства вида

где — наперед заданная ошибка прогнозирования лимита L_s.

Модели планирования объемов бытовых услуг в соответствии с имитационными целевыми функциями (2.2.1), (2.2.11), (2.2.12) обеспечивают достаточно полную реализацию четырех принципов программно-целевого планирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Некоторые формальные подходы к многокритериальной оптимизации

Рассмотрим некоторые  формальные подходы к многокритериальной оптимизации, в которых излагаются ее известные методы в трактовке В.И. Борисова .Излагаемые ниже методы не являются обобщением рассмотренных в пп. 2.2.1 и 2.2.2, а лишь наглядно иллюстрируют некоторые приемы многокритериальной оптимизации.

Пусть X— решение, Xe Д_х, Д_х — допустимое множество решений. Критерии оценки решений задаются η скалярными функциями У\,Уг' ) » образующими вектор у, причем A^rY = F(x). Функционал F(x) может быть задан аналитически, статистически или эвристически. При этом необходимо найти оптимальное решение

Модель оптимизации, соответствующая такой постановке, выглядит так:

где F'¹ — обратное преобразование У в X; opt— оператор оптимизации вектора Y.

Реализация модели (2.2.13) связана с тремя трудностями.

Первая заключается  в выборе принципа оптимальности, который  достаточно строго определяет свойства оптимального решения на основе некоторой схемы компромисса.

Вторая трудность связана  с нормализацией вектора Y и вызвана  различными масштабами и единицами  измерения локальных критериев.

Третья трудность связана  с учетом приоритетности локальных критериев.

Один из главных моментов выбора решения в многокритериальных моделях — выделение области  компромиссов (решений, оптимальных  по Парето). Областью компромиссов Г_х называется подмножество Д_х, обладающее тем свойством, что все принадлежащие ему решения не могут быть одновременно улучшены по всем локальным критериям.

Это приводит к необходимости  проводить выбор решения в T_x на основе некоторой схемы компромисса. Легко видеть, что оптимальное решение A⁰ всегда должно принадлежать области компромиссов, иначе оно может быть улучшено и, следовательно, не является оптимальным. Таким образом, поиск оптимального решения можно ограничить областью Г_х, которая, как правило, значительно уже всей области Д_х. Модель выбора решения, соответствующая такому определению T_x, запишем так:

Для вычислений удобнее  использовать другую форму записи:

где А = (O₁, а₂, , а_п) — векторный параметр, заданный на множестве ,

Модель (2.2.15) требует нахождения глобального оптимума линейной формы , а также в случае невыпуклых задач и локальных оптимумов.

Первый шаг при выборе решений в случае нескольких критериев  — выделение области допустимых компромиссов T_x (рис. 2.2.5).

В основе определения T_xлежит принцип оптимальности Opt₁ Y = шах У, т.е. принцип строгого доминирования: решение X лучше решения X", если Y(X ) Y(X').

Важный практический результат выделения области T_x — сужение области Д_х, что позволяет улучшить качество принимаемых решений. В некоторых случаях поиск оптимального решения заканчивается именно определением T_jc и выдачей решений Xe T_x лицу или органу, ответственному за принятие решения. Однако существуют методы повышения эффективности решений, связанные с вторжением в T_jc на основе некоторых моделей компромисса. Рассмотрим такие модели.